#import "@preview/polylux:0.4.0": *
#import "@preview/cetz:0.5.0"

#set page(
  paper: "presentation-4-3",
  margin: 0cm,
)

// Font
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 20pt,
  fill: black,
)

// Infos
#let auteur = "Anthony PERRONI"
#let numero = "49871"
#let titre = "Codes LDPC"
#let annee = "2025 - 2026"

// Template
#let myslide(partie, contenu) = slide[
  // Header
  #block(width: 100%, fill: black, inset: (top: 0.6cm, bottom: 0.6cm, left: 1.5cm, right: 1.5cm))[
    #set text(fill: white, size: 28pt, weight: "bold")
    #partie
  ]

  // Contenu
  #pad(x: 1.5cm, top: 0.2cm)[
    #set text(size: 20pt)
    #contenu
  ]

  // Footer
  #v(1fr)
  #context {
    let cur = counter(page).get().first()
    let tot = counter(page).final().first()

    if cur > 1 {
      block(width: 100%, fill: black, inset: (top: 0.2cm, bottom: 0.2cm, left: 1.5cm, right: 1.5cm))[
        #set text(fill: white, size: 12pt, weight: "bold")
        #grid(
          columns: (1.5fr, 2fr, 1fr, auto),
          align: (left, center, center, right),
          [#auteur n°#numero], [#titre], [#annee], [#(cur - 1) / #(tot - 1)],
        )
      ]
    }
  }
]

// Plan
// Plan
#let design_plan(items) = {
  let r = 6pt
  let epaisseur = 2pt
  let hauteur_ligne = 2.5em
  let espace_vertical = 20pt

  pad(left: 1cm, top: 1cm)[
    #block[
      #place(dx: r, dy: hauteur_ligne / 2)[
        #line(
          length: (items.len() - 1) * (hauteur_ligne + espace_vertical),
          angle: 90deg,
          stroke: epaisseur + black,
        )
      ]

      #grid(
        columns: (2 * r, auto),
        column-gutter: 20pt,
        row-gutter: espace_vertical, // On applique la variable ici
        ..items
          .map(item => (
            box(height: hauteur_ligne, align(center + horizon)[
              #circle(radius: r, fill: white, stroke: epaisseur + black)
            ]),
            box(height: hauteur_ligne, align(left + horizon)[
              #text(weight: "bold", size: 1.1em)[#item]
            ]),
          ))
          .flatten()
      )
    ]
  ]
}

// Page de garde
#slide[
  #v(1fr)
  #align(center)[
    #pad(x: 1.5cm)[
      #text(size: 3em, weight: "bold")[#titre]
      #v(0cm)
      #text(size: 1.4em)[*#auteur n°#numero*] \
      #v(1cm)
      #text(size: 1.1em)[#annee]
    ]
  ]
  #v(1fr)
]

#myslide("Plan")[
  #design_plan((
    [Introduction],
    [Codes linéaires],
    [LDPC],
    [Codage],
    [Décodage],
    [Analyse],
  ))
]


#myslide("Introduction : transmission numérique")[
  // Schema Shannon
  #align(center + horizon)[
    #cetz.canvas({
      import cetz.draw: *

      // Styles
      let s = (stroke: 2pt + black)
      let s_fleche = (stroke: 2pt + black)
      let pointe_pleine = (end: "stealth", fill: black)

      let espacement = 5.5

      // Blocs
      content((0, 0), [Source], name: "src", frame: "rect", ..s, padding: .3)
      content((espacement, 0), [Emetteur], name: "em", frame: "rect", ..s, padding: .3)
      content((espacement * 2, 0), [Canal], name: "chan", frame: "rect", ..s, padding: .3)
      content((espacement * 3, 0), [Récepteur], name: "rec", frame: "rect", ..s, padding: .3)
      content((espacement * 4, 0), [Destinataire], name: "dest", frame: "rect", ..s, padding: .3)

      // Bruit
      content((rel: (0, 1.8), to: "chan"), [Bruit], name: "bruit", frame: "rect", ..s, padding: .3)

      // Codage / Décodage
      content((rel: (0, 1), to: "em"), [*Codage*])
      content((rel: (0, 1), to: "rec"), [*Décodage*])

      // Flèches (On utilise s_fleche et pointe_pleine)
      line("src.east", "em.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
      line("em.east", "chan.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
      line("chan.east", "rec.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
      line("rec.east", "dest.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
      line("bruit.south", "chan.north", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)

      // Annotation
      let note-style = (size: 0.75em, style: "italic")
      content((espacement * 0.5, -0.5), text(..note-style)[Message])
      content((espacement * 1.5, -0.5), text(..note-style)[Signal])
      content((espacement * 2.5, -0.5), text(..note-style)[Signal])
      content((espacement * 3.5, -0.5), text(..note-style)[Message])
    })
  ]
  #v(5cm)
  image de mon drone FPV, 5G
]

#myslide("Problématique")[
  #align(center)[
    Comment utiliser les codes LDPC pour garantir la fiabilité d'une transmission en présence de
    bruit ?
  ]
]

#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
  $cal(C)$ de paramètres $(n, k) in NN^2$, ($n > k$)

  // $Phi : & FF_2^k --> FF_2^n \
  // & x arrow.long.bar Phi(x) = c$
  // $Phi : #box(baseline: 1.6em)[$ cases(
  //   delim: "|",
  //   bb(F)_2^k & arrow bb(F)_2^n,
  //   x & arrow.long.bar Phi(x)
  // ) $]$

  // $Phi$ linéaire et injective

  Espace des messages : $FF_2^k$\
  Espace des mots transmis :$FF_2^n$

  Redondance de $n - k$ bits

  Rendement $display(R = k / n)$

  #align(center)[
    #cetz.canvas(length: 1.5cm, {
      import cetz.draw: *

      // Styles
      let style-pointille = (stroke: (paint: black, thickness: 1.2pt, dash: "dashed"))
      let style-point = (fill: black, stroke: none)
      let rayon-point = 0.08
      let pointe-fleche = (end: "stealth", fill: black)

      let m = (
        p00: (-4, 0),
        p01: (-2, 0),
        p11: (-2, -2),
        p10: (-4, -2),
      )

      // Arêtes pointillés
      line(m.p00, m.p01, m.p11, m.p10, close: true, ..style-pointille)

      // Points sur les sommets
      circle(m.p00, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(m.p01, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(m.p11, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(m.p10, radius: rayon-point, ..style-point)

      // Étiquettes
      content(m.p00, [00], anchor: "south-east", padding: .2)
      content(m.p01, [01], anchor: "south-west", padding: .2)
      content(m.p11, [11], anchor: "north-west", padding: .2)
      content(m.p10, [10], anchor: "north-east", padding: .2)

      content((-3, -3), [$FF_2^2$])

      line((-1.2, -1), (1.2, -1), mark: pointe-fleche, stroke: 1.5pt + black)
      content((0, -0.6), [*Plongement*])

      // Sommets face arrière
      let cb = (p000: (2.5, 0), p001: (4.5, 0), p011: (4.5, -2), p010: (2.5, -2))
      // Sommets face avant (décalés)
      let cf = (p100: (3.5, 1), p101: (5.5, 1), p111: (5.5, -1), p110: (3.5, -1))

      // Arêtes pointillés du cube
      line(cb.p000, cb.p001, cb.p011, cb.p010, close: true, ..style-pointille) // Face arrière
      line(cf.p100, cf.p101, cf.p111, cf.p110, close: true, ..style-pointille) // Face avant
      line(cb.p000, cf.p100, ..style-pointille) // Liaisons
      line(cb.p001, cf.p101, ..style-pointille)
      line(cb.p011, cf.p111, ..style-pointille)
      line(cb.p010, cf.p110, ..style-pointille)

      // Points sur les sommets du cube
      circle(cb.p000, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cb.p001, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cb.p011, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cb.p010, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cf.p100, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cf.p101, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cf.p111, radius: rayon-point, ..style-point)
      circle(cf.p110, radius: rayon-point, ..style-point)

      // Étiquettes du cube
      content(cb.p000, [000], anchor: "south-east", padding: .2)
      content(cb.p001, [001], anchor: "south-west", padding: .2)
      content(cb.p011, [011], anchor: "north-west", padding: .2)
      content(cb.p010, [010], anchor: "north-east", padding: .2)
      content(cf.p100, [100], anchor: "south-east", padding: .2)
      content(cf.p101, [101], anchor: "south-west", padding: .2)
      content(cf.p111, [111], anchor: "north-west", padding: .2)
      content(cf.p110, [110], anchor: "north-east", padding: .2)

      content((4, -3), [$FF_2^3$])
    })
  ]

]

// #myslide("Définition : Codes Linéaires")[
//   // Matrice génératrice :  $op("Mat")_cal(B)(Phi) = G in cal(M)_(k, n)(FF_2)$, $op("rg")(G) = k$
//
//   // $cal(C) = op("Im")(Phi) = {x G | x in FF_2^k}$
//
//   Forme bilinéaire symétrique :
//   $forall x, y in FF_2^n, space (x|y)_(FF_2^n) = display(sum_(i=0)^n x_i y_i)$
//
//   Encodage :
//   $Phi : #box(baseline: 1.6em)[$ cases(
//     delim: "|",
//     FF_2^k & -> FF_2^n,
//     x & arrow.long.bar Phi(x)
//   ) $]$
//
//   $Phi in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$, $op("rg")(Phi) = k$, $Phi$ injective
//
//   $cal(C) = op("Im")(Phi)$
//
//   $G = op("Mat")_cal(B)(Phi) in cal(M)_(k,n)(FF_2)$
//   Pour $x in FF_2^k, Phi(x) = x G$
//
//   $Phi$ admet un unique adjoint $Phi^*$,
//   $
//     forall x in FF_2^k, forall y in FF_2^n, (Phi(x) | y)_(FF_2^n) = (x, Phi(y)^*)_(FF_2^k)
//   $
//   de plus $cal(C)^bot = op("Im")(Phi)^bot = ker(Phi^*)$ et $dim(cal(C)^bot) = n - k$
//
//   Equation du code dual : $y in cal(C^bot) <==> Phi(y)^* = 0 <==> y G^T = 0$
//
//   De plus $display((cal(C)^bot)^bot) = cal(C)$ (car non dégénérée)
//
//
// ]
//
// #myslide("Définition : Codes Linéaires")[
//
//   $(h_1, ..., h_(n-k))$ base de $cal(C)^bot$
//   Définisson $H in cal(M)_(n-k, n)(FF_2)$ avec les $h_i$ comme lignes
//   $H$ : matrice de contrôle de parité
//
//   $forall c in FF_2^n, c in cal(C) <==> c H^T = 0$
//
//   $S : #box(baseline: 1.6em)[$ cases(
//     delim: "|",
//     FF_2^n & -> FF_2^(n-k),
//     y & arrow.long.bar y H^T
//   ) $]$
//   et $ker(S) = cal(C)$ ...
//
// ]

#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
  faire un truc plus theoriques...
]

#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
  - Matrice génératrice

  $G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$

  - Encodage : $m in FF_2^k, c = m dot.o G$

  - Forme systématique : $G = [I_k | P]$ avec $P$ matrice de parité

  - Matrice de contrôle de parité $H = [- P^top | I_(n-k)]$
  $c in FF_2^n$ est un mot de code valide $<==>$ $c^top dot.o H = 0$

  De plus $G dot.o H^T = 0$
]

#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
  Reception de $r = c + e$ avec $c in cal(C), e in FF_2^n$
  $r^top dot.o H = s$ le syndrome

  $(c + e)^top H = c^top H + e^top H = e^top H$
]

#myslide("Redondance et limite théorique")[
  Graphique waterfall avec n = 100 et n = 64800 avec limite de Shannon, $display(R = k /n) < 1$, $m = n - k$

  Bande passante...

  Il existe $C$ pour un canal tel que pour $R < C$ on peut atteindre une probabilité d'erreur nulle.
  $=>$ gros bloc (moyenne du bruit aléatoire)
]

#myslide("Décodage par Maximum de Vraisemblance")[
  Trouver le message envoyer le + probable sachant le message recu : NP-COMPLET (Max)
  Decodage par syndrome d'une code lin'aire général est NP-Complet
  Complexité $O(2^k)$
]

#myslide("LDPC")[
  Matrice $H$ clairsemée(low density) donc complexité mointre, pas de produit de matrice mais algorithme itératif efficace quasi linéaire
  Graphique d'un H très grand clairesemée avec plein de 0, généré en rust par exemple où les 1 sont des points noir et le reste du blanc
  Défniition avec (w_r,w_c)
]

#myslide("Graphe de Tanner")[
  Il existe un isomorphisme entre H et le Graphe de Tanner
  Graphe de tanner (cetz)
  Contrainte de somme nulle
]

#myslide("Encodage")[
]

#myslide("Décodage")[
  Canal d'étude (AWGN) analogique, tension etc, ce qui se passe en radio dans les cables etc
]

#myslide("Hard decoding")[
  Nul (0 ou 1)
  transition perte d'information
]

#myslide("Implementation")[

]

#myslide("Soft decoding")[
  belief propagation, log ou virgule fixe, explication resultat meilleur
]

#myslide("Implementation")[

]

#myslide("Test")[
  Irl hackrf, test de diff de debit avec des paquets
]

#myslide("Image")[
  Test de transmission d'image avec différent ldpc non opti et opti (le H)
]

#myslide("Annexe")[
  Annexe
]

#myslide("Théorie deriere la définition des codes linaires")[
  Poser les notations algebriques
]
#myslide("Unicité de l'adjoint")[
  Unicité de l'adjoint pour une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
]