#import "composants.typ": *

#set page(
  paper: "presentation-4-3",
  margin: 0cm,
)

// Font
#set text(
  font: "New Computer Modern",
  size: 20pt,
  fill: black,
)
#set math.mat(delim: "[")

// Page de garde
#slide[
  #place(center + horizon)[
    #graphe_tanner_fond(1cm, 1.5)
  ]
  #v(1fr)
  #align(center + horizon)[
    #pad(x: 2cm)[
      #text(size: 3em, weight: "bold", fill: black)[#titre]

      #text(size: 1.2em, weight: "bold", fill: black)[#auteur]

      #h(0.5em)

      #text(size: 1.2em, fill: black)[n°#numero]

      #text(size: 0.95em, fill: black)[#annee]
    ]
  ]
  #v(1fr)
]

#myslide("Plan")[                                                     
  #grid(                                                              
    columns: (auto, 1fr),                                             
    align: horizon,                                                   
    place(center + horizon, dx: 11.8cm, dy: 0.7cm)[#decor_matrice_etoilee()],                       
    design_plan((                                                     
      [Introduction], [Codes linéaires], [LDPC],                     
      [Codage], [Décodage], [Analyse],                               
    ))                                                               
  )                                                                   
] 

#myslide("Introduction : Communication Numérique")[
  #place(center + horizon, dy: 8cm)[
    #canal_shannon_intro()
  ]
]

#myslide("Introduction : Utilisation")[
  #align(center + horizon)[
    #grid(
      columns: (1.5fr, 1.5fr),
      gutter: 1.5cm,
      align: center + horizon,
      [
        #box(width: 80%)[
          #stack(
            dir: ttb,
            spacing: -0.5em,
            image("src/athena_fidus_no_text.jpg", width: 100%),
            align(left)[
              #box(
                inset: (x: 5pt, y: 0pt),
                text(size: 0.45em, fill: white)[* https://gallery.ariane.group *],
              )
            ],
          )
        ]
        #v(0.5em)
        Athena-Fidus
      ],
      [
        #box(width: 80%)[
          #stack(
            dir: ttb,
            spacing: -0.5em,
            image("src/runcamfpv2.png", width: 100%),
            align(left)[
              #box(
                inset: (x: 5pt, y: 0pt),
                text(size: 0.45em, fill: white)[* https://www.runcam.com/ *],
              )
            ],
          )
        ]
        #v(0.5em)
        Module OpenIPC
      ],
    )
  ]
]

#myslide("Problématique")[
  #place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)]
  #place(center + horizon, dy: 7.7cm)[
    #block(width: 100%)[
      #text(size: 1.2em, weight: "bold", fill: black)[
        Comment utiliser les codes LDPC pour garantir la fiabilité d'une transmission en présence de bruit ?
      ]
    ]
  ]
]

#myslide("Définition : Codes Linéaires en Bloc")[
  #definition(titre: [Code $display((n,k) in NN^2)$])[
    $cal(C)$ sous-espace vectoriel de dimension $k$ de $FF_2^n$
  ]

  #[
    #set text(size: 1.1em)
    - $k$ : longueur du message original
    - $n$ : longueur du mot de code
    - $m = n - k$ : nombre de bits de parités
  ]

  #definition(titre: "Encodage")[
    $Phi : FF_2^k & -> FF_2^n in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$
  ]

  #v(-1.3em)

  #uncover(2)[
    #align(center + horizon)[
      #plongement_schema()
    ]
  ]
]

#myslide("Définition : Matrice Génératrice")[
  #definition(titre: "Matrice Génératrice")[
    $G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$ dont les lignes sont une base de $cal(C)$
  ]

  #definition(titre: "Encodage")[
    Pour un message $u in FF_2^k$ le mot de code $c in cal(C)$ est :
    $
      c = Phi(u) = u dot.o G
    $
  ]

  #definition(titre: "Forme systématique")[
    $
      G = mat(
        I_k, P;
        augment: #1,
        delim: "[",
      )
    $
  ]

  #[
    #set text(size: 1.2em)
    - Pour $u in FF_2^k, space display(u dot.o G = mat(u, u dot.o P; augment: #1, delim: "[",))$

    - $P in cal(M)_(k ,(n-k))(FF_2)$ matrice de parité\
  ]
]

#myslide("Définition : Matrice de Contrôle")[
  #definition(titre: "Matrice de Contrôle")[
    $
      H = mat(
        P^top, I_(n-k);
        augment: #1,
        delim: "[",
      )
    $
  ]
  #[
    #set text(size: 1.2em)
    - $cal(C) = ker(H) = {v in FF_2^n | H dot.o v^top = 0}$

    - $display(G dot.o H^top = 0)$
  ]

  #definition(titre: "Syndrome")[
    Pour un vecteur reçu $r = c + e, space s in FF_2^(n - k)$
    $
      s = H r^top = H c^top + H e^top = 0 + H e^top
    $
  ]
  #[
    #set text(size: 1.2em)
    - Si $s = 0, space r$ est un mot de code valide
    - Sinon s donne la signature de l'erreur $e$
  ]
  // Possible décodage par syndrome
]

#myslide("Exemple d'un code linéaire")[
  #[
    #set text(size: 1.1em)
    #let col-u = blue
    #let col-p = orange

    #underline(offset: 3pt)[Exemple d'un code $(5,2)$]


    - On choisit la matrice de parité $P$ :
    $
      P = #math.mat(
        (text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[0]),
        (text(fill: col-p)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1]),
      )
    $

    - Alors la matrice génératrice $G$ est :
    $
      G = #math.mat(
        (text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[0]),
        (text(fill: col-u)[0], text(fill: col-u)[1], text(fill: col-p)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1]),
        augment: 2,
      )
    $

    - Message $display(u = #math.mat((text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[1])))$

    - Mot de code $c = u G$ :
    $
      c = #math.mat((text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[1]))
      #math.mat(
        (text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[0]),
        (text(fill: col-u)[0], text(fill: col-u)[1], text(fill: col-p)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1]),
        augment: 2,
      )
      =
      #math.mat((
        text(fill: col-u)[1],
        text(fill: col-u)[1],
        text(fill: col-p)[1],
        text(fill: col-p)[0],
        text(fill: col-p)[1],
      ))
    $
  ]
]

#myslide("Exemple d'une code linéaire")[
  #[
    #set math.mat(delim: "[")
    #let colu = blue
    #let colp = orange

    #place(dx: 0cm, dy: 2.0cm)[
    #set text(size: 1.1em)
    Enfin

    $
      H = #math.mat(
        (text(fill: colp)[1], text(fill: colp)[0], 1, 0, 0),
        (text(fill: colp)[1], text(fill: colp)[1], 0, 1, 0),
        (text(fill: colp)[0], text(fill: colp)[1], 0, 0, 1),
        augment: 2,
      )
    $

    #v(0.8em)

    Vérification du mot de code $display(c = mat(#text(fill: colu)[1], #text(fill: colu)[1], #text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[0], #text(fill: colp)[1]))$

    #v(0.8em)

    $
      H c^top = mat(
        1, 0, 1, 0, 0;
        1, 1, 0, 1, 0;
        0, 1, 0, 0, 1
      ) mat(#text(fill: colu)[1], #text(fill: colu)[1], #text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[0], #text(fill: colp)[1])^top
      = mat(
        1 plus.o 0 plus.o 1 plus.o 0 plus.o 0;
        1 plus.o 1 plus.o 0 plus.o 0 plus.o 0;
        0 plus.o 1 plus.o 0 plus.o 0 plus.o 1
      )
      = mat(0; 0; 0)
    $
  ]
]
]

// A REMPLACER AVEC DE VRAI DONNE SUR DE VRAI CODE LDPC ET HAMMING PAR EXEMPLE
#myslide("Approcher la Limite de Shannon")[
  #limite_shannon_graphique()
]

// #myslide("Redondance et limite théorique")[
//   Graphique waterfall avec n = 100 et n = 64800 avec limite de Shannon, $display(R = k /n) < 1$, $m = n - k$
//
//   Bande passante...
//
//   Il existe $C$ pour un canal tel que pour $R < C$ on peut atteindre une probabilité d'erreur nulle.
//   $=>$ gros bloc (moyenne du bruit aléatoire)
// ]

#myslide("Le Mur de la Complexité")[
  #set text(size: 19pt)
      #definition(titre: [Décodage par Maximum de Vraisemblance (MDL)], accent: black)[
        Chercher le mot de code $bold(c) in cal(C)$ le plus probable sachant $bold(r)$ reçu :
        $ hat(bold(c)) = arg min_(bold(c) in cal(C)) d_H (bold(r), bold(c)) $
      ]

      - Équivalent à chercher l'erreur $bold(e)$ de poids minimal tel que $bold(H) bold(e)^top = bold(s)$.
      
      #v(0.5em)

      #definition(titre: "Le Problème du décodage par Syndrome")[
        NP-Difficile et pour $H$ quelconque : $cal(O)(2^k)$
      ]

      - Pour $k=100$ bits, $2^100 approx 10^30$ opérations nécessaires.
]

#myslide("Définition des Codes LDPC")[
      #definition(titre: [Formalisation des Codes LDPC Réguliers])[
        Code linéaire en bloc avec une matrice de contrôle $bold(H)$ est *clairsemée*.
      ]

      - *Poids de Colonne $w_c$*
      
      - *Poids de Ligne $w_r$* 

      #v(0.5em)

      #definition(titre: "Conditions de Faible Densité", accent: black)[
        #set align(center)
        $w_c << n - k $ #h(2cm) $w_r << n$
      ]

      #definition(titre : "Rendement")[
        $ display(R = (n - op("rg")(H)) / n >= 1 - m / n) $
      ]
  ]

  #myslide([Matrice de contrôle])[
  #definition(titre : [Code LDPC $(6, 3)$])[
    $m w_r = n w_c$ donc $H in cal(M)_(15, 30)(FF_2)$ et $display(R = 1 - m / n = 1/2)$
  ]

  #v(2cm)

  #place(center + horizon, dx: 0cm, dy: 7.3cm)[
  #scale(140%)[#hldpc()] 
  ]
]

#myslide("De la Matrice aux Équations de Parité")[
  #set text(size: 17pt) 

  #let v_space = 2.83cm

  #align(center)[
    #scale(115%)[
      #grid(
        columns: (auto, auto),
        gutter: -15pt,
        align: horizon,
        [#hldpc_dual(row1: 0, row2: none)],
        [
          // #set math.mat(gap: 24.5pt)
          #move(dy: 13.8pt)[
          $ underbrace(
            mat(r_0; r_1;#v(v_space);dots.v; r_29; delim: "["), 
            #text()[Mot reçu] r space in space FF_2^30
          ) $
        ]
        ]
      )
    ]
  ]

  #v(0.5cm)

  #set text(size: 1.1em)

  - Chaque ligne $j$ de $H$ définit une équation de parité $f_j$.
  - Pour $r$, on vérifie le syndrome : $H r^top = 0$.

  #v(0.2cm)

  #definition(titre: [Équations de Parité], accent: orange)[
    #set text(size: 1em)
    #text(fill: orange)[$ f_0 : r_7 plus.o r_10 plus.o r_15 plus.o r_22 plus.o r_24 plus.o r_29 = 0 $]
  ]
  
  #v(0.3cm)
  #text(size: 1.1em)[- Si $f_j = 1$, un nombre impair de bits a été inversé par le canal.]
]

#myslide("L'Entrelacement des Contraintes")[
  #set text(size: 17pt)

#align(center)[
  #move(dx: -1.2cm)[
    #scale(115%)[#hldpc_dual(row1: 0, row2: 14)]
  ]
]

  #v(1cm)

    #set text(size: 1.1em)
    - Chaque bit $r_i$ participe à $w_c = 3$ équations distinctes

  #v(1cm)

  // --- Étage 2 : Système et Décision ---
  #set align(center + horizon)
  #scale(115%)[
      #block(fill: gray.lighten(95%), inset: 10pt, stroke: 0.5pt + gray, radius: 4pt)[
        $ cases(
          #text(fill: orange)[$r_7 plus.o r_10 plus.o r_15 plus.o r_22 plus.o bold(r_24) plus.o r_29 &= 0$],

          #h(4.5cm) #text(size : 20pt)[$bold(dots.v)$],

          #text(fill: blue)[$r_1 plus.o r_3 plus.o r_12 plus.o bold(r_24) plus.o r_25 plus.o r_28 &= 0$]
        ) $
      ]
    ]

    #v(1cm)

  #set align(left)
  #set text(size: 1.1em)
  - *$r_24$* : Surveillé par #text(fill: orange)[$f_0$] et #text(fill: blue)[$f_14$].
  - Si #text(fill: orange)[$f_0 = 1$] et #text(fill: blue)[$f_14 = 1$], $r_24$ est suspect
]

#myslide("Graphe de Tanner")[
  Il existe un isomorphisme entre H et le Graphe de Tanner
  Graphe de tanner (cetz)
  Contrainte de somme nulle
]

#myslide("Encodage")[
]

#myslide("Décodage")[
  Canal d'étude (AWGN) analogique, tension etc, ce qui se passe en radio dans les cables etc
]

#myslide("Hard decoding")[
  Nul (0 ou 1)
  transition perte d'information
]

#myslide("Implementation")[

]

#myslide("Soft decoding")[
  belief propagation, log ou virgule fixe, explication resultat meilleur
]

#myslide("Implementation")[

]

#myslide("Test")[
  Irl hackrf, test de diff de debit avec des paquets
]

#myslide("Image")[
  Test de transmission d'image avec différent ldpc non opti et opti (le H)
]

#myslide("Annexe")[
  #align(center + horizon)[
    Annexe
  ]
  #align(center + horizon)[
    #image("src/construction.jpg", width: 80%)
  ]
]

#myslide("Théorie deriere la définition des codes linaires")[
  Poser les notations algebriques etc...
]

#myslide("Decodage par maximum de vraisemblance")[
  Expliquer, quelle distance ? etc
]

#myslide("Code LDPC non régulier")[

]