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2026-05-31 18:53:31 +02:00
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352
composants.typ
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@ -406,22 +406,25 @@
accent: black, accent: black,
titre_taille: 1.13em, titre_taille: 1.13em,
corps_taille: 1.2em, corps_taille: 1.2em,
compact: false,
contenu, contenu,
) = { ) = {
let largeur = if compact { auto } else { 100% }
let colonne = if compact { (5pt, auto) } else { (5pt, 1fr) }
block( block(
width: 100%, width: largeur,
fill: rgb("#f8f9fa"), fill: rgb("#f8f9fa"),
stroke: 0.5pt + gray.lighten(60%), stroke: 0.5pt + gray.lighten(60%),
radius: 8pt, radius: 8pt,
clip: true, clip: true,
grid( grid(
columns: (5pt, 1fr), columns: colonne,
rows: auto, rows: auto,
fill: (col, row) => if col == 0 { accent }, fill: (col, row) => if col == 0 { accent },
[], [],
block( block(
width: 100%, width: largeur,
inset: (x: 16pt, y: 15pt), inset: (x: 16pt, y: 15pt),
{ {
{ {
@ -615,6 +618,7 @@
let col-code-long = blue.darken(20%) let col-code-long = blue.darken(20%)
let col-code-short = gray.lighten(10%) let col-code-short = gray.lighten(10%)
set text(size: 11pt) set text(size: 11pt)
let label_size = 18pt
move(dx: -5pt, dy: 0pt)[ move(dx: -5pt, dy: 0pt)[
#cetz.canvas({ #cetz.canvas({
@ -644,14 +648,16 @@
stroke: 0.5pt + gray, stroke: 0.5pt + gray,
fill: white, fill: white,
padding: 0.2, padding: 0.2,
offset: (-161.4pt, -45.1pt), offset: (-204.8pt, -66.1pt),
spacing: 0.4,
), ),
{ {
// 1. Limite de Shannon // 1. Limite de Shannon
plot.add( plot.add(
((1.5, -8.5), (1.5, 0.2)), ((1.5, -8.5), (1.5, 0.2)),
style: (stroke: (paint: col-shannon, thickness: 2.5pt, dash: "dashed")), style: (stroke: (paint: col-shannon, thickness: 2.5pt, dash: "dashed")),
label: [Limite de Shannon], label: text(size: label_size)[Limite de Shannon],
) )
// 2. Code court (n ≈ 100) // 2. Code court (n ≈ 100)
@ -675,7 +681,7 @@
style: (stroke: (paint: col-code-short, thickness: 1.5pt, dash: "dashed")), style: (stroke: (paint: col-code-short, thickness: 1.5pt, dash: "dashed")),
mark: "+", mark: "+",
mark-style: (stroke: (paint: col-code-short, thickness: 0.08), size: 0.6), mark-style: (stroke: (paint: col-code-short, thickness: 0.08), size: 0.6),
label: [$n approx 100$], label: text(size: label_size)[$n approx 100$],
) )
// 3. Code long (n = 64 800) // 3. Code long (n = 64 800)
@ -699,7 +705,7 @@
style: (stroke: (paint: col-code-long, thickness: 2.5pt)), style: (stroke: (paint: col-code-long, thickness: 2.5pt)),
mark: "square", mark: "square",
mark-style: (stroke: (paint: col-code-long, thickness: 0.08), fill: white, size: 0.5), mark-style: (stroke: (paint: col-code-long, thickness: 0.08), fill: white, size: 0.5),
label: [$n = 64\,800$], label: text(size: label_size)[$n = 64800$],
) )
}, },
) )
@ -1230,6 +1236,156 @@
}) })
} }
#let hldpc_col24(row1: 0, row2: 9, row3: 14, col: 24) = {
import cetz.draw
let points = (
(7, 0),
(10, 0),
(15, 0),
(22, 0),
(24, 0),
(29, 0),
(3, 1),
(6, 1),
(18, 1),
(19, 1),
(25, 1),
(27, 1),
(5, 2),
(9, 2),
(13, 2),
(14, 2),
(17, 2),
(28, 2),
(0, 3),
(8, 3),
(11, 3),
(16, 3),
(20, 3),
(26, 3),
(1, 4),
(2, 4),
(4, 4),
(12, 4),
(21, 4),
(23, 4),
(5, 5),
(6, 5),
(8, 5),
(10, 5),
(21, 5),
(29, 5),
(14, 6),
(15, 6),
(16, 6),
(18, 6),
(22, 6),
(28, 6),
(0, 7),
(1, 7),
(4, 7),
(9, 7),
(20, 7),
(26, 7),
(2, 8),
(3, 8),
(11, 8),
(12, 8),
(17, 8),
(19, 8),
(7, 9),
(13, 9),
(23, 9),
(24, 9),
(25, 9),
(27, 9),
(0, 10),
(6, 10),
(15, 10),
(18, 10),
(21, 10),
(26, 10),
(2, 11),
(7, 11),
(10, 11),
(17, 11),
(22, 11),
(27, 11),
(8, 12),
(11, 12),
(14, 12),
(20, 12),
(23, 12),
(29, 12),
(4, 13),
(5, 13),
(9, 13),
(13, 13),
(16, 13),
(19, 13),
(1, 14),
(3, 14),
(12, 14),
(24, 14),
(25, 14),
(28, 14),
)
cetz.canvas(length: 0.35cm, {
let nx = 30
let ny = 15
let col_1 = orange
let col_2 = green.darken(15%)
let col_3 = blue
let col_v = red
draw.content((-3.4, -7.5), text(size: 1.6em)[$H =$])
// Fonds de lignes horizontales
draw.rect((0, -row1), (nx, -row1 - 1), fill: col_1.lighten(90%), stroke: none)
draw.rect((0, -row2), (nx, -row2 - 1), fill: col_2.lighten(90%), stroke: none)
draw.rect((0, -row3), (nx, -row3 - 1), fill: col_3.lighten(90%), stroke: none)
// Fond de colonne verticale rouge
draw.rect((col, 0.3), (col + 1, -ny - 0.3), fill: col_v.lighten(88%), stroke: none)
// Label r_24 sous la colonne
draw.content(
(col + 0.5, -ny - 1.0),
text(size: 0.85em, fill: col_v)[$r_(24)$],
)
// Crochets
draw.set-style(stroke: (thickness: 1.2pt))
draw.line((0.5, 0.3), (0, 0.3), (0, -ny - 0.3), (0.5, -ny - 0.3))
draw.line((nx - 0.5, 0.3), (nx, 0.3), (nx, -ny - 0.3), (nx - 0.5, -ny - 0.3))
// Points
for (x, y) in points {
let d_col = gray.darken(30%)
let r = 0.15
let is_highlighted_row = (y == row1 or y == row2 or y == row3)
let is_col = (x == col)
if is_col and is_highlighted_row {
// Intersection : rouge, plus gros, prioritaire
d_col = col_v
r = 0.30
} else if y == row1 {
d_col = col_1
r = 0.22
} else if y == row2 {
d_col = col_2
r = 0.22
} else if y == row3 {
d_col = col_3
r = 0.22
}
draw.circle((x + 0.5, -y - 0.5), radius: r, fill: d_col, stroke: none)
}
})
}
// Données de H partagées (mêmes points que hldpc / hldpc_dual) // Données de H partagées (mêmes points que hldpc / hldpc_dual)
#let _h_pts = ( #let _h_pts = (
(7, 0), (7, 0),
@ -3110,7 +3266,7 @@
line((0.8, 0), "verdict.west", stroke: (paint: black, thickness: 1.3pt, dash: "dotted")) line((0.8, 0), "verdict.west", stroke: (paint: black, thickness: 1.3pt, dash: "dotted"))
}) })
// ③ Schéma Min-Sum : comparaison SP vs MS + highlight du terme minimum // Schéma Min-Sum : comparaison SP vs MS + highlight du terme minimum
// #let schema_min_sum_vis() = { // #let schema_min_sum_vis() = {
// cetz.canvas(length: 1cm, { // cetz.canvas(length: 1cm, {
// import cetz.draw: * // import cetz.draw: *
@ -3205,7 +3361,7 @@
} }
rect((-2.5, -0.5), (-1.5, 0.5), name: "cn", stroke: 2pt + orange, fill: orange.lighten(92%)) rect((-2.5, -0.5), (-1.5, 0.5), name: "cn", stroke: 2pt + orange, fill: orange.lighten(92%))
content((-2.0, 0), text(size: 1.2em, fill: orange, weight: "bold")[$c$]) content((-2.01, 0.07), text(size: 1.2em, fill: orange, weight: "bold")[$c$])
for i in (0, 1, 2, 3) { for i in (0, 1, 2, 3) {
let y_pos = 2.25 - i * 1.5 let y_pos = 2.25 - i * 1.5
@ -3253,66 +3409,6 @@
]) ])
}) })
#let waterfall_plot(pts_uncoded, pts_bf) = {
cetz.canvas({
import cetz.draw
plot.plot(
size: (23, 14.5),
x-label: pad(top: 5cm)[],
y-label: [BER],
x-min: 0,
x-max: 8,
y-min: -9,
y-max: 0.2,
x-tick-step: 1,
y-tick-step: 1,
x-grid: true,
y-grid: true,
y-format: y => $10^(#int(y))$,
x-format: x => pad(top: 1cm)[#x],
legend: (2, 6),
legend-style: (
padding: 0.3,
stroke: gray.lighten(50%),
fill: white,
),
{
plot.annotate({
// for decade in range(-9, 0) {
// for minor in (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) {
// let y_pos = decade + (calc.log(minor) / calc.log(10))
// if y_pos >= -9 and y_pos <= 0 {
// draw.line(
// (0, y_pos),
// (8, y_pos),
// stroke: (paint: gray.lighten(70%), thickness: 0.3pt),
// )
// }
// }
// }
draw.content((4, -10), text(size: 1.2em)[$E_b/N_0$ (dB)])
})
plot.add(
pts_uncoded,
label: [Signal non codé],
style: (stroke: (paint: orange, thickness: 2pt, dash: "dashed")),
mark: "+",
mark-style: (stroke: orange, size: 0.5),
)
plot.add(
pts_bf,
label: [Bit-Flipping],
style: (stroke: (paint: blue, thickness: 2.5pt)),
mark: "square",
mark-style: (stroke: blue, fill: white, size: 0.25),
)
},
)
})
}
#let convergence_plot(iters, syndrms) = { #let convergence_plot(iters, syndrms) = {
let n = iters.len() let n = iters.len()
let max_s = 160.0 let max_s = 160.0
@ -3360,8 +3456,8 @@
import cetz.draw: * import cetz.draw: *
plot.plot( plot.plot(
size: (22, 15), size: (22, 15),
x-label: none, x-label: pad(bottom: 30pt)[#move(dy: 90pt)[#text(size: 1.3em)[$E_b/N_0$ (dB)]]],
y-label: none, y-label: move(dx: -20pt, dy: -10pt)[#text(size: 1.3em)[BER]],
x-min: 0, x-min: 0,
x-max: 10, x-max: 10,
y-min: -9, y-min: -9,
@ -3370,28 +3466,14 @@
y-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
x-grid: true, x-grid: true,
y-grid: true, y-grid: true,
style: ( y-format: y => move(dx: -5pt)[$10^(#int(y))$],
axes: ( x-format: x => move(dy: 14pt)[#text(size: 16pt)[#int(x)]],
bottom: (tick: (label: (offset: 0.2))), // Chiffres plus proches de l'axe
left: (tick: (label: (offset: 0.2))),
),
),
y-format: y => $10^(#int(y))$,
x-format: x => [#x],
legend: (14.4, 12.9), legend: (14.4, 12.9),
legend-style: (padding: 0.3, stroke: gray.lighten(50%), fill: white), legend-style: (padding: 0.3, stroke: gray.lighten(50%), fill: white),
{ {
plot.annotate({ plot.annotate({
// for decade in range(-9, 0) { // content((4, -9.9), text(size: 1.3em)[$E_b/N_0$ (dB)])
// for minor in (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) { // content((-1, -4.5), angle: 90deg, text(size: 1.3em)[BER])
// let y_pos = decade + (calc.log(minor) / calc.log(10))
// if y_pos >= -9 and y_pos <= 0 {
// line((0, y_pos), (8, y_pos), stroke: (paint: gray.lighten(60%), thickness: 0.3pt))
// }
// }
// }
content((4, -9.9), text(size: 1.3em)[$E_b/N_0$ (dB)])
content((-1, -4.5), angle: 90deg, text(size: 1.3em)[BER])
}) })
plot.add( plot.add(
pts_uncoded, pts_uncoded,
@ -3412,6 +3494,63 @@
}) })
} }
// #let waterfall_plot(pts_uncoded, pts_bf) = {
// cetz.canvas({
// import cetz.draw: *
// plot.plot(
// size: (22, 15),
// x-label: none,
// y-label: none,
// x-min: 0,
// x-max: 10,
// y-min: -9,
// y-max: 0.2,
// x-tick-step: 1,
// y-tick-step: 1,
// x-grid: true,
// y-grid: true,
// style: (
// axes: (
// bottom: (tick: (label: (offset: 0.2))), // Chiffres plus proches de l'axe
// left: (tick: (label: (offset: 0.2))),
// ),
// ),
// y-format: y => $10^(#int(y))$,
// x-format: x => [#x],
// legend: (14.4, 12.9),
// legend-style: (padding: 0.3, stroke: gray.lighten(50%), fill: white),
// {
// plot.annotate({
// // for decade in range(-9, 0) {
// // for minor in (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) {
// // let y_pos = decade + (calc.log(minor) / calc.log(10))
// // if y_pos >= -9 and y_pos <= 0 {
// // line((0, y_pos), (8, y_pos), stroke: (paint: gray.lighten(60%), thickness: 0.3pt))
// // }
// // }
// // }
// content((4, -9.9), text(size: 1.3em)[$E_b/N_0$ (dB)])
// content((-1, -4.5), angle: 90deg, text(size: 1.3em)[BER])
// })
// plot.add(
// pts_uncoded,
// label: [Signal non codé],
// style: (stroke: (paint: orange, thickness: 2pt, dash: "dashed")),
// mark: "+",
// mark-style: (stroke: orange, size: 0.5),
// )
// plot.add(
// pts_bf,
// label: [Bit-Flipping LDPC],
// style: (stroke: (paint: blue, thickness: 2.5pt)),
// mark: "square",
// mark-style: (stroke: blue, fill: white, size: 0.25),
// )
// },
// )
// })
// }
#let simulation_image_flow(img_orig, img_noisy, img_r05, img_r66, img_r75, img_w: 150pt, gap_top: 3.0, gap_bot: 4.0) = { #let simulation_image_flow(img_orig, img_noisy, img_r05, img_r66, img_r75, img_w: 150pt, gap_top: 3.0, gap_bot: 4.0) = {
cetz.canvas({ cetz.canvas({
import cetz.draw: * import cetz.draw: *
@ -3491,8 +3630,8 @@
import cetz.draw: * import cetz.draw: *
plot.plot( plot.plot(
size: (21, 15), size: (21, 15),
x-label: none, x-label: pad(bottom: 30pt)[#move(dy: 80pt)[#text(size: 16pt)[$E_b/N_0$ (dB)]]],
y-label: none, y-label: move(dx: -20pt, dy: -10pt)[#text(size: 16pt)[BER]],
x-min: 0, x-min: 0,
x-max: 11, x-max: 11,
y-min: -8, y-min: -8,
@ -3501,33 +3640,11 @@
y-tick-step: 1, y-tick-step: 1,
x-grid: true, x-grid: true,
y-grid: true, y-grid: true,
style: ( y-format: y => move(dx: -5pt)[$10^(#int(y))$],
axes: ( x-format: x => move(dy: 14pt)[#text(size: 16pt)[#int(x)]],
bottom: (tick: (label: (offset: 0.2))),
left: (tick: (label: (offset: 0.2))),
),
),
y-format: y => $10^(#int(y))$,
x-format: x => [#x],
legend: (13.2, 11.4), legend: (13.2, 11.4),
legend-style: (padding: 0.3, stroke: gray.lighten(50%), fill: white), legend-style: (padding: 0.3, stroke: gray.lighten(50%), fill: white),
{ {
plot.annotate({
// Grille logarithmique étendue jusqu'à x=11
// for decade in range(-8, 0) {
// for minor in (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) {
// let y_pos = decade + (calc.log(minor) / calc.log(10))
// if y_pos >= -8 and y_pos <= 0 {
// line((0, y_pos), (11, y_pos), stroke: (paint: gray.lighten(75%), thickness: 0.3pt))
// }
// }
// }
// Label X centré sur 11 unités (environ 5.5)
content((5.5, -8.7), text(size: 1.3em)[$E_b/N_0$ (dB)])
// Label Y
content((-1.2, -4.0), angle: 90deg, text(size: 1.3em)[BER])
})
plot.add( plot.add(
pts_unc, pts_unc,
label: [Signal non codé], label: [Signal non codé],
@ -3535,7 +3652,6 @@
mark: "+", mark: "+",
mark-style: (stroke: orange, size: 1), mark-style: (stroke: orange, size: 1),
) )
plot.add( plot.add(
pts_bf, pts_bf,
label: [Bit-Flipping (Hard)], label: [Bit-Flipping (Hard)],
@ -3543,7 +3659,6 @@
mark: "x", mark: "x",
mark-style: (stroke: red, size: 1), mark-style: (stroke: red, size: 1),
) )
plot.add( plot.add(
pts_ms, pts_ms,
label: [Min-Sum (Soft)], label: [Min-Sum (Soft)],
@ -3551,7 +3666,6 @@
mark: "triangle", mark: "triangle",
mark-style: (stroke: green.darken(20%), fill: white, size: 0.3), mark-style: (stroke: green.darken(20%), fill: white, size: 0.3),
) )
plot.add( plot.add(
pts_sp, pts_sp,
label: [Sum-Product (Soft)], label: [Sum-Product (Soft)],

21790
main.pdf
View File

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603
main.typ
View File

@ -35,12 +35,6 @@
#v(1fr) #v(1fr)
] ]
#myslide("Introduction : Communication Numérique")[
#place(center + horizon, dy: 8cm)[
#canal_shannon_intro()
]
]
#myslide("Introduction : Utilisation")[ #myslide("Introduction : Utilisation")[
#align(center + horizon)[ #align(center + horizon)[
#grid( #grid(
@ -85,6 +79,12 @@
] ]
] ]
#myslide("Introduction : Communication Numérique")[
#place(center + horizon, dy: 8cm)[
#canal_shannon_intro()
]
]
#myslide("Problématique")[ #myslide("Problématique")[
#place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)] #place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)]
#place(center + horizon, dy: 7.7cm)[ #place(center + horizon, dy: 7.7cm)[
@ -96,7 +96,6 @@
] ]
] ]
#myslide("Plan")[ #myslide("Plan")[
#grid( #grid(
columns: (auto, 1fr), columns: (auto, 1fr),
@ -114,7 +113,6 @@
] ]
#myslide("Définition : Codes Linéaires en Bloc")[ #myslide("Définition : Codes Linéaires en Bloc")[
#place(dy: 2.5cm)[
#definition(titre: [Code $display((n,k) in NN^2)$])[ #definition(titre: [Code $display((n,k) in NN^2)$])[
$cal(C)$ sous-espace vectoriel de dimension $k$ de $FF_2^n$ $cal(C)$ sous-espace vectoriel de dimension $k$ de $FF_2^n$
] ]
@ -128,10 +126,17 @@
#definition(titre: "Encodage")[ #definition(titre: "Encodage")[
$Phi : FF_2^k & -> FF_2^n in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$ $Phi : FF_2^k & -> FF_2^n in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$
]] ]
#v(-1.3em)
#align(center + horizon)[
#plongement_schema()
]
] ]
#myslide("Définition : Matrice Génératrice")[ #myslide("Définition : Matrice Génératrice")[
#v(0.80cm)
#definition(titre: "Matrice Génératrice")[ #definition(titre: "Matrice Génératrice")[
$G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$ dont les lignes sont une base de $cal(C)$ $G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$ dont les lignes sont une base de $cal(C)$
] ]
@ -139,7 +144,7 @@
#definition(titre: "Encodage")[ #definition(titre: "Encodage")[
Pour un message $u in FF_2^k$ le mot de code $c in cal(C)$ est : Pour un message $u in FF_2^k$ le mot de code $c in cal(C)$ est :
$ $
c = Phi(u) = u dot.o G c = Phi(u) = u G
$ $
] ]
@ -169,6 +174,7 @@
] ]
#myslide("Définition : Matrice de Contrôle")[ #myslide("Définition : Matrice de Contrôle")[
#v(1.1cm)
#definition(titre: "Matrice de Contrôle")[ #definition(titre: "Matrice de Contrôle")[
// $H = mat( // $H = mat(
// P^top, I_(n-k); // P^top, I_(n-k);
@ -187,7 +193,7 @@
#set text(size: 1.2em) #set text(size: 1.2em)
// - $cal(C) = ker(H) = {v in FF_2^n | H dot.o v^top = 0}$ // - $cal(C) = ker(H) = {v in FF_2^n | H dot.o v^top = 0}$
- $cal(C) = ker(H)$ -- $H c^top = 0$ $=>$ $c$ mot de code valide - $cal(C) = ker(H)$ -- $H c^top = 0$ $=>$ $c in cal(C)$
// - $display(G dot.o H^top = 0)$ // - $display(G dot.o H^top = 0)$
@ -201,7 +207,7 @@
] ]
#[ #[
#set text(size: 1.2em) #set text(size: 1.2em)
- $s = 0 => r space$ mot de code valide - $s = 0 => r in cal(C)$
- $s != 0$ donne la signature de l'erreur $e$ - $s != 0$ donne la signature de l'erreur $e$
] ]
// Possible décodage par syndrome // Possible décodage par syndrome
@ -257,29 +263,27 @@
] ]
#myslide("Exemple d'un code linéaire")[ #myslide("Exemple d'un code linéaire")[
#let colp = orange // Partie P (Parité) #let colp = orange
#let colu = blue // Partie I (Identité) #let colu = blue
#let cole = red
#set math.mat(delim: "[") #set math.mat(delim: "[")
#v(0.4cm) #v(0.2cm)
#set text(size: 1.1em) #set text(size: 1.1em)
Structure systématique de $H$ : Structure systématique de $H$ :
#v(0.3em)
#v(0.5em)
#align(center)[ #align(center)[
#scale(120%)[ #scale(108%)[
#dessiner_matrice($H =$, ( #dessiner_matrice($H =$, (
(texte: $P^top$, largeur: 2.0, fond: colp.lighten(90%)), (texte: $P^top$, largeur: 2.0, fond: colp.lighten(90%)),
(texte: $I_3$, largeur: 3.0, fond: colu.lighten(90%)), (texte: $I_3$, largeur: 3.0, fond: colu.lighten(90%)),
)) ))
] ]
] ]
#v(0.4em)
#v(0.8em)
Ainsi : Ainsi :
#v(-1.2em)
#align(center)[ #align(center)[
#scale(115%)[ #scale(110%)[
$ $
H = mat( H = mat(
text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "0"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "0"); text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "0"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "0");
@ -289,23 +293,21 @@
$ $
] ]
] ]
#v(0.55em)
#v(0.8em) Mot de code valide $c = (#text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[1], #text(fill: colu)[1], #text(fill: colu)[0], #text(fill: colu)[1])$ : #h(0.4em) $H c^top = mat(0; 0; 0)$ #h(0.5em) #text(fill: green.darken(20%))[✓]
// Vérification du mot de code $c = mat(text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "1"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1"))$ : #v(-0.5em)
Vérification du mot de code $c = (#text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[1], #text(fill: colu)[1], #text(fill: colu)[0], #text(fill: colu)[1])$ : Mot reçu avec #text(fill: cole)[une erreur] : $r = (#text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[1], text(fill: cole, "0"), #text(fill: colu)[0], #text(fill: colu)[1])$
#v(0.4em) #v(0.4em)
#align(center)[ #align(center)[
#scale(115%)[ #scale(110%)[
$ $
H c^top = mat( H r^top = mat(
text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "0"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "0"); text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "0"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "0");
text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"); text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0");
text(fill: colp, "0"), text(fill: colp, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1") text(fill: colp, "0"), text(fill: colp, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1")
) mat( ) mat(
text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "1"), text(fill: colu, "1"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1") text(fill: colp, "1"), text(fill: colp, "1"), text(fill: cole, "0"), text(fill: colu, "0"), text(fill: colu, "1")
)^top )^top = mat(1; 0; 0) != mat(0; 0; 0)
= mat(0; 0; 0)
$ $
] ]
] ]
@ -334,7 +336,9 @@
$ hat(bold(c)) = arg min_(bold(c) in cal(C)) d_H (bold(r), bold(c)) $ $ hat(bold(c)) = arg min_(bold(c) in cal(C)) d_H (bold(r), bold(c)) $
] ]
#text(size: 21pt)[
- Équivalent à chercher l'erreur $bold(e)$ de poids minimal tel que $bold(H) bold(e)^top = bold(s)$. - Équivalent à chercher l'erreur $bold(e)$ de poids minimal tel que $bold(H) bold(e)^top = bold(s)$.
]
#v(0.5em) #v(0.5em)
@ -350,42 +354,92 @@
#definition(titre: [Codes LDPC Réguliers])[ #definition(titre: [Codes LDPC Réguliers])[
#text(size: 22.97pt)[ #text(size: 22.97pt)[
Code linéaire en bloc avec une matrice de contrôle $bold(H)$ *clairsemée*. Code linéaire en bloc avec une matrice de contrôle $bold(H)$ *clairsemée*.
#align(center)[
#grid(
columns: (auto, 3em, auto),
align: left,
[- Poids de Colonne *$w_c$*], [], [- Poids de Ligne *$w_r$*],
)
]
] ]
] ]
- Poids de Colonne *$w_c$* #place(center, dx: -290pt, dy: 60pt)[
#text(size: 13pt, style: "italic", fill: luma(160))[
$H in cal(M)_(15, 30)(FF_2)$, $display(R = 1/2)$
]
]
#v(-0.3cm)
#align(center)[
#scale(100%)[#hldpc()]
]
- Poids de Ligne *$w_r$* #v(0.0cm)
#grid(
#v(0.5em) columns: (1fr, 1fr),
column-gutter: 1.75em,
#definition(titre: "Conditions de Faible Densité", accent: black)[ [#definition(titre: "Faible Densité", accent: black)[
#set align(center) #set align(center)
$w_c << n - k$ #h(2cm) $w_r << n$ $w_c << m$ #h(1cm) $w_r << n$
] ]],
[#definition(titre: "Rendement")[
#definition(titre: "Rendement")[ #set align(center)
// $ display(R = (n - op("rg")(H)) / n >= 1 - m / n) $ $R = 1 - m / n$
$ display(R = 1 - m / n) $ ]],
] )
] ]
#myslide([Matrice de contrôle])[ // #myslide("Définition des Codes LDPC")[
// #definition(titre: [Code LDPC $(6, 3)$])[ // #v(1.3cm)
// $m w_r = n w_c$ donc $H in cal(M)_(15, 30)(FF_2)$ et $display(R = 1 - m / n = 1/2)$ // #definition(titre: [Codes LDPC Réguliers])[
// ] // #text(size: 22.97pt)[
#definition(titre: [Code LDPC $(6, 3)$])[ // Code linéaire en bloc avec une matrice de contrôle $bold(H)$ *clairsemée*.
#v(8pt) // ]
$H in cal(M)_(15, 30)(FF_2)$ et $display(R = 1/2)$ // ]
#v(5pt) // #v(0.3em)
] // #align(center + horizon)[
// #grid(
#v(2cm) // columns: (auto, 3em, auto),
// align: left,
#place(center + horizon, dx: 0cm, dy: 7.3cm)[ // [• Poids de Colonne *$w_c$*], [], [• Poids de Ligne *$w_r$*],
#scale(140%)[#hldpc()] // )
] // ]
] // #v(0.5em)
//
// // - Poids de Colonne *$w_c$*
// //
// // - Poids de Ligne *$w_r$*
// //
// // #v(0.5em)
//
// #definition(titre: "Conditions de Faible Densité", accent: black)[
// #set align(center)
// // $w_c << n - k$ #h(2cm) $w_r << n$
// $w_c << m$ #h(2cm) $w_r << n$
// ]
//
// #definition(titre: "Rendement")[
// // $ display(R = (n - op("rg")(H)) / n >= 1 - m / n) $
// $ display(R = 1 - m / n) $
// ]
// ]
//
// #myslide([Matrice de contrôle])[
// // #definition(titre: [Code LDPC $(6, 3)$])[
// // $m w_r = n w_c$ donc $H in cal(M)_(15, 30)(FF_2)$ et $display(R = 1 - m / n = 1/2)$
// // ]
// #definition(titre: [Code LDPC $(6, 3)$])[
// #v(8pt)
// $H in cal(M)_(15, 30)(FF_2)$ et $display(R = 1/2)$
// #v(5pt)
// ]
//
// #v(2cm)
//
// #place(center + horizon, dx: 0cm, dy: 7.3cm)[
// #scale(140%)[#hldpc()]
// ]
// ]
#myslide("De la Matrice aux Équations de Parité")[ #myslide("De la Matrice aux Équations de Parité")[
#set text(size: 17pt) #set text(size: 17pt)
@ -471,37 +525,33 @@
// ] // ]
#myslide("L'Entrelacement des Contraintes")[ #myslide("L'Entrelacement des Contraintes")[
#v(0.7cm)
#set text(size: 20pt) #set text(size: 20pt)
#align(center)[ #align(center)[
#move(dx: -1.2cm)[ #move(dx: -1.2cm)[
#scale(110%)[#hldpc_triple(row1: 0, row2: 7, row3: 14)] // #scale(110%)[#hldpc_triple(row1: 0, row2: 9, row3: 14)]
#scale(110%)[#hldpc_col24(row1: 0, row2: 9, row3: 14, col: 24)]
] ]
] ]
#v(0.5cm) #v(0.5cm)
- Chaque bit $r_i$ participe à $w_c = 3$ équations distinctes : - Chaque bit $r_i$ participe à $w_c = 3$ équations distinctes :
#v(0.3cm) #v(0.3cm)
#align(center)[ #align(center)[
#block(fill: gray.lighten(95%), inset: 10pt, stroke: 0.5pt + gray, radius: 4pt)[ #block(fill: gray.lighten(95%), inset: 10pt, stroke: 0.5pt + gray, radius: 4pt)[
$ $
cases( cases(
#text(fill: orange)[$r_7 plus.o r_10 plus.o r_15 plus.o r_22 plus.o bold(r_24) plus.o r_29 &= 0 quad (f_0)$], #text(fill: orange)[$r_7 plus.o r_10 plus.o r_15 plus.o r_22 plus.o$ #text(fill: red)[$bold(r_24)$] #text(fill: orange)[$plus.o r_29 &= 0 quad (f_0)$]],
#text(fill: green.darken(20%))[$r_0 plus.o r_1 plus.o r_4 plus.o r_9 plus.o r_20 plus.o r_26 &= 0 quad (f_7)$], #text(fill: green.darken(20%))[$r_7 plus.o r_13 plus.o r_23 plus.o$ #text(fill: red)[$bold(r_24)$] #text(fill: green.darken(20%))[$plus.o r_25 plus.o r_27 &= 0 quad (f_9)$]],
#text(fill: blue)[$r_1 plus.o r_3 plus.o r_12 plus.o bold(r_24) plus.o r_25 plus.o r_28 &= 0 quad (f_14)$] #text(fill: blue)[$r_1 plus.o r_3 space thick$] #h(0.3pt) #text(fill: blue)[$plus.o r_12 plus.o$ #text(fill: red)[$bold(r_24)$] #text(fill: blue)[$plus.o r_25 plus.o r_28 &= 0 quad (f_14)$]]
) )
$ $
] ]
] ]
#v(0.5cm) #v(0.5cm)
- *$r_24$* : Surveillé simultanément par #text(fill: orange)[$f_0$], #text(fill: green.darken(20%))[$f_7$] et #text(fill: blue)[$f_14$]. - *$r_24$* : Surveillé simultanément par #text(fill: orange)[$f_0$], #text(fill: green.darken(20%))[$f_9$] et #text(fill: blue)[$f_14$].
- Si $forall #tricolor-j in {#text(fill: orange)[$0$], #text(fill: green.darken(20%))[$9$], #text(fill: blue)[$14$]}, space f_(#scale(80%)[#tricolor-j]) = 1$, alors le bit est considéré suspect.
- Si $forall #tricolor-j in {#text(fill: orange)[$0$], #text(fill: green.darken(20%))[$7$], #text(fill: blue)[$24$]}, space f_(#scale(80%)[#tricolor-j]) = 1$, alors le bit est comme suspect.
] ]
#myslide("Graphe de Tanner : Définition")[ #myslide("Graphe de Tanner : Définition")[
#set text(size: 1em) #set text(size: 1em)
#definition(titre: [Graphe de Tanner $cal(G)(bold(H))$])[ #definition(titre: [Graphe de Tanner $cal(G)(bold(H))$])[
@ -799,65 +849,6 @@
// ] // ]
] ]
#myslide("La Topologie de H : Le Girth")[
#set text(size: 20pt)
#definition(titre: "Définition : Le Girth (La Maille)", accent: blue)[
Longueur du plus court cycle dans le graphe de Tanner
]
#v(0.5em)
- Le girth est *pair*
- La valeur minimale est $g = 4$.
#v(1em)
#align(center)[
#block(fill: rgb("#f8fafc"), stroke: 1pt + blue.lighten(50%), inset: 10pt, radius: 5pt)[
Girth élevé $=>$ Meilleure diffusion de l'information.
]
]
#v(2.5em)
#align(center)[
#scale(140%)[
#grid(
columns: (1fr, 1fr),
gutter: -7cm,
[
#schema_girth_4(highlight: false)
#v(0.5em)
#text(size: 0.8em, style: "italic")[Graphe de Tanner]
],
[
#schema_girth_4(highlight: true)
#v(0.5em)
#text(size: 0.8em, fill: red, weight: "bold")[4-Cycle]
],
)
]
]
]
#myslide("Méthode de génération de H")[
#place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)]
#place(center + horizon, dy: 7cm)[
#block(width: 100%)[
#text(size: 1.5em, weight: "bold", fill: black)[
Gallager \
Mackay-Neal \
Progressive Edge-Growth
]
]
]
// #align(center + horizon)[
// #image("src/construction.jpg", width: 50%)
// ]
]
#myslide("Encodage LDPC : Calcul de G")[ #myslide("Encodage LDPC : Calcul de G")[
#set text(size: 18pt) #set text(size: 18pt)
@ -1046,24 +1037,33 @@
// ] // ]
] ]
#myslide([Résultats : Convergence syndrome])[ // #myslide([Résultats : Convergence syndrome])[
#align(center)[#convergence_plot(iters, syndrms)] // #align(center)[#convergence_plot(iters, syndrms)]
] // ]
#myslide("Bit-Flipping : Analyse")[ // #myslide("Bit-Flipping : Analyse")[
#myslide("Bit-Flipping : Syndrome et Analyse")[
#place(center + horizon, dx: -2cm, dy: 8cm)[#convergence_plot(iters, syndrms)]
// TODO PARLER DU GIRTH 4 => MAUVAIS // TODO PARLER DU GIRTH 4 => MAUVAIS
#set text(size: 17pt) #set text(size: 17pt)
#place(dy: 4.5cm)[ #uncover(2)[
#definition(titre: "Avantages", accent: green.darken(10%))[ #place(dx: 13cm, dy: 1.0cm)[
#scale(100%)[
#definition(titre: "Avantages", accent: green.darken(10%), compact: true)[
#set text(size: 0.88em) #set text(size: 0.88em)
- *Complexité* : simples XOR et compteurs -- $cal(O)(n)$ par itération - *Complexité* : XOR et compteurs
- $cal(O)(n)$ par itération
// - *Matériel* : idéal FPGA/ASIC, massivement parallélisable // - *Matériel* : idéal FPGA/ASIC, massivement parallélisable
// - *Simplicité* : inventé par Gallager (1962) // - *Simplicité* : inventé par Gallager (1962)
] ]
#definition(titre: "Limite", accent: red)[ ]
#place(dx: -1.5cm, dy: 1.0cm)[
#scale(100%)[
#definition(titre: "Limite", accent: red, compact: true)[
#set text(size: 0.88em) #set text(size: 0.88em)
- Ignore la *confiance* du récepteur physique dans le signal - Ignore la *confiance* du récepteur physique
- Un bit reçu à $0.51$ V est traité comme $0$ - Un bit reçu à $0.51$ V est traité comme $0$
// - $=>$ Sous-optimal par rapport à la limite de Shannon // - $=>$ Sous-optimal par rapport à la limite de Shannon
@ -1075,8 +1075,10 @@
// )[$arrow$ Nécessite le *Soft-Decision* (Belief Propagation) pour exploiter les niveaux de gris du signal] // )[$arrow$ Nécessite le *Soft-Decision* (Belief Propagation) pour exploiter les niveaux de gris du signal]
// ] // ]
// ] // ]
]]
]]
] ]
]
] ]
#myslide("Décodage Soft : Le LLR")[ #myslide("Décodage Soft : Le LLR")[
@ -1094,13 +1096,15 @@
$ $
] ]
#v(1.3em) #v(2em)
#align(center)[ #align(center)[
#scale(125%)[#schema_llr_droite()] #move(dx: 1.05cm)[
#scale(160%)[#schema_llr_droite()]
]
] ]
#v(1em) #v(1.7em)
// Blocs de légende centrés // Blocs de légende centrés
#align(center)[ #align(center)[
@ -1134,6 +1138,8 @@
#definition(titre: "Information Extrinsèque")[ #definition(titre: "Information Extrinsèque")[
Exclure l'avis du destinataire pour éviter l'auto-influence Exclure l'avis du destinataire pour éviter l'auto-influence
] ]
#block( #block(
fill: orange.lighten(92%), fill: orange.lighten(92%),
stroke: (left: 4pt + orange), stroke: (left: 4pt + orange),
@ -1142,12 +1148,14 @@
width: 100%, width: 100%,
)[ )[
#set text(size: 1.2em) #set text(size: 1.2em)
*Mise à jour CN* \ *Mise à jour* \
#set text(size: 1.1em) #set text(size: 1.1em)
// $ tanh(m_(c arrow v) / 2) = product_(u != v) tanh(m_(u arrow c) / 2) $ // $ tanh(m_(c arrow v) / 2) = product_(u != v) tanh(m_(u arrow c) / 2) $
$ m_(c arrow v) = 2 tanh^(-1) ( product_(u in cal(N)(c) \\ {v}) tanh(m_(u arrow c) / 2) ) $ $ m_(c arrow v) = 2 tanh^(-1) ( product_(u in cal(N)(c) \\ {v}) tanh(m_(u arrow c) / 2) ) $
] ]
#place(dx: 5.2cm, dy: -5.2cm)[#scale(170%)[#icon_chk]]
#block( #block(
fill: blue.lighten(92%), fill: blue.lighten(92%),
stroke: (left: 4pt + blue), stroke: (left: 4pt + blue),
@ -1156,12 +1164,14 @@
width: 100%, width: 100%,
)[ )[
#set text(size: 1.2em) #set text(size: 1.2em)
*Mise à jour VN* \ *Mise à jour* \
#set text(size: 1.1em) #set text(size: 1.1em)
// $ m_(v arrow c) = L_"canal" + sum_(c' != c) m_(c' arrow v) $ // $ m_(v arrow c) = L_"canal" + sum_(c' != c) m_(c' arrow v) $
// $ m_(v arrow c) = L_v^((0)) + sum_(c' in cal(N)(v) \\ {c}) m_(c' arrow v) $ // $ m_(v arrow c) = L_v^((0)) + sum_(c' in cal(N)(v) \\ {c}) m_(c' arrow v) $
$ m_(v arrow c) = L_(v"canal") + sum_(c' in cal(N)(v) \\ {c}) m_(c' arrow v) $ $ m_(v arrow c) = L_(v"canal") + sum_(c' in cal(N)(v) \\ {c}) m_(c' arrow v) $
] ]
#place(dx: 5.2cm, dy: -3.85cm)[#scale(170%)[#icon_var]]
] ]
#myslide("Sum-Product")[ #myslide("Sum-Product")[
@ -1184,9 +1194,11 @@
] ]
#place(right, dx: -4.5cm, dy: 0cm)[ #place(right, dx: -4.5cm, dy: 0cm)[
#text(weight: "bold", fill: orange, size: 1.1em * 1.3)[Échange CN] #text(weight: "bold", fill: orange, size: 1.1em * 1.3)[Échange]
] ]
#place(dx: 21cm, dy: 0.1cm)[#scale(170%)[#icon_chk]]
#place(right, dx: -1cm, dy: 2.7cm)[ #place(right, dx: -1cm, dy: 2.7cm)[
#scale(130%)[ #scale(130%)[
#schema_detailed_cn() #schema_detailed_cn()
@ -1194,9 +1206,11 @@
] ]
#place(left, dx: 1.5cm, dy: 9cm)[ #place(left, dx: 1.5cm, dy: 9cm)[
#text(weight: "bold", fill: blue, size: 1.1em * 1.3)[Échange VN] #text(weight: "bold", fill: blue, size: 1.1em * 1.3)[Échange]
] ]
#place(dx: 5.4cm, dy: 9.15cm)[#scale(170%)[#icon_var]]
#place(left, dx: 1.5cm, dy: 11cm)[ #place(left, dx: 1.5cm, dy: 11cm)[
#scale(130%)[ #scale(130%)[
#schema_detailed_vn() #schema_detailed_vn()
@ -1260,29 +1274,55 @@
#myslide("Min-Sum")[ #myslide("Min-Sum")[
#set text(size: 15pt) #set text(size: 15pt)
#grid( // #grid(
columns: (1fr, 1fr), // columns: (1fr, 1fr),
gutter: 0.5cm, // gutter: 0.5cm,
definition(titre: "Avantage Matériel", accent: black)[ // definition(titre: "Avantage Matériel", accent: black)[
// - *Comparateurs* pour le minimum
// - *XOR* pour le produit des signes
// #v(0.21cm)
// ],
// definition(titre: "Mise à jour des CN", accent: orange)[
// #set text(size: 19pt)
// $
// m_(c arrow v_i) = product_(j != i) "sgn"(m_(v_j arrow c)) times min_(j != i) |m_(v_j arrow c)|
// $
// ],
// definition(titre: "Mise à jour des CN", accent: orange)[
// #set text(size: 19pt)
// $
// m_(c arrow v) = product_(u in cal(N)(c) \\ {v}) "sgn"(m_(u arrow c)) times min_(u in cal(N)(c) \\ {v}) |m_(u arrow c)|
// $
// ],
// definition(titre: "Mise à jour des CN", accent: orange)[
// #set text(size: 19pt)
// $
// m_(c arrow v) = & product_(u in cal(N)(c) \\ {v}) "sgn"(m_(u arrow c)) \
// & times min_(u in cal(N)(c) \\ {v}) |m_(u arrow c)|
// $
// ],
// )
#definition(titre: "Avantage Matériel", accent: black, titre_taille: 1.4em)[
- *Comparateurs* pour le minimum - *Comparateurs* pour le minimum
- *XOR* pour le produit des signes - *XOR* pour le produit des signes
#v(0.21cm) #v(0.21cm)
], ]
definition(titre: "Mise à jour du CN", accent: orange)[
#set text(size: 19pt) #definition(titre: "Mise à jour des CN", accent: orange, titre_taille: 1.4em)[
$ #set text(size: 24pt)
m_(c arrow v_i) = product_(j != i) "sgn"(m_(v_j arrow c)) times min_(j != i) |m_(v_j arrow c)| $
$ m_(c arrow v) = product_(u in cal(N)(c) \\ {v}) "sgn"(m_(u arrow c)) times min_(u in cal(N)(c) \\ {v}) |m_(u arrow c)|
], $
) ]
#v(1.5em)
#v(4.5em)
#align(center)[#scale(130%)[#schema_min_sum_complet()]] #align(center)[#scale(130%)[#schema_min_sum_complet()]]
#v(0.5em) #v(-0.5em)
#align(center)[ #align(center)[
#text(size: 1.1em, fill: gray.darken(40%), style: "italic")[ #text(size: 1.1em, fill: gray.darken(40%), style: "italic")[
Pour les VN : $m_(v arrow c) = L_"canal" + sum_(c' != c) m_(c' arrow v)$ Pour les VN : $display(m_(v arrow c) = L_"canal" + sum_(c' in cal(N)(v) \\ {c}) m_(c' arrow v))$
] ]
] ]
] ]
@ -1343,16 +1383,75 @@
// ] // ]
// ] // ]
#myslide("La Topologie de H : Le Girth")[
#set text(size: 20pt)
#definition(titre: "Définition : Le Girth (La Maille)", accent: blue)[
Longueur du plus court cycle dans le graphe de Tanner
]
#v(0.5em)
- Le girth est *pair*
- La valeur minimale est $g = 4$.
#v(1em)
#align(center)[
#block(fill: rgb("#f8fafc"), stroke: 1pt + blue.lighten(50%), inset: 10pt, radius: 5pt)[
Girth élevé $=>$ Meilleure diffusion de l'information.
]
]
#v(2.5em)
#align(center)[
#scale(140%)[
#grid(
columns: (1fr, 1fr),
gutter: -7cm,
[
#schema_girth_4(highlight: false)
#v(0.5em)
#text(size: 0.8em, style: "italic")[Graphe de Tanner]
],
[
#schema_girth_4(highlight: true)
#v(0.5em)
#text(size: 0.8em, fill: red, weight: "bold")[4-Cycle]
],
)
]
]
]
#myslide("Méthode de génération de H")[
#place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)]
#place(center + horizon, dy: 7cm)[
#block(width: 100%)[
#text(size: 1.5em, weight: "bold", fill: black)[
Gallager \
Mackay-Neal \
Progressive Edge-Growth
]
]
]
// #align(center + horizon)[
// #image("src/construction.jpg", width: 50%)
// ]
]
#myslide("Conclusion")[ #myslide("Conclusion")[
#place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)] #place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)]
#place(center + horizon, dy: 7.7cm)[ #place(center + horizon, dy: 7.7cm)[
#block(width: 100%)[ #block(width: 100%)[
#text(size: 1.5em, weight: "bold", fill: black)[ #text(size: 1.5em, weight: "bold", fill: black)[
QC-LDPC Encodage \
FPGA \ FPGA \
QC-LDPC \ Test Réels
Test réels
] ]
] ]
] ]
@ -1369,101 +1468,78 @@
] ]
] ]
#myslide("Définition : Codes Linéaires en Bloc")[ // #myslide("Définition : Matrice Génératrice")[
#definition(titre: [Code $display((n,k) in NN^2)$])[ // #definition(titre: "Matrice Génératrice")[
$cal(C)$ sous-espace vectoriel de dimension $k$ de $FF_2^n$ // $G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$ dont les lignes sont une base de $cal(C)$
] // ]
//
#[ // #definition(titre: "Encodage")[
#set text(size: 1.1em) // Pour un message $u in FF_2^k$ le mot de code $c in cal(C)$ est :
- $k$ : longueur du message original // $
- $n$ : longueur du mot de code // c = Phi(u) = u G
- $m = n - k$ : nombre de bits de parités // $
] // ]
//
#definition(titre: "Encodage")[ // #definition(titre: "Forme systématique")[
$Phi : FF_2^k & -> FF_2^n in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$ // // TODO : changer [I_k | P] en un graphique jolie avec I et P dans un carré coloré
] // $
// #dessiner_matrice($G =$, ((texte: $I_k$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)), (texte: $P$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%))))
#v(-1.3em) // // G = mat(
// // I_k, P;
#align(center + horizon)[ // // augment: #1,
#plongement_schema() // // delim: "[",
] // // )
] // $
// ]
#myslide("Définition : Matrice Génératrice")[ //
#definition(titre: "Matrice Génératrice")[ // #[
$G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$ dont les lignes sont une base de $cal(C)$ // #set text(size: 1.2em)
] // // - Pour $u in FF_2^k, space display(u dot.o G = mat(u, u dot.o P; augment: #1, delim: "[",))$
//
#definition(titre: "Encodage")[ // - Pour $u in FF_2^k, space #dessiner_matrice($u G =$, (
Pour un message $u in FF_2^k$ le mot de code $c in cal(C)$ est : // (texte: $u$, largeur: 1.1, fond: gray.lighten(75%)),
$ // (texte: $u P$, largeur: 3.0, fond: gray.lighten(75%)),
c = Phi(u) = u dot.o G // ))$
$ //
] // - $P in cal(M)_(k ,n-k)(FF_2)$ matrice de parité\
// ]
#definition(titre: "Forme systématique")[ // ]
// TODO : changer [I_k | P] en un graphique jolie avec I et P dans un carré coloré //
$ // #myslide("Définition : Matrice de Contrôle")[
#dessiner_matrice($G =$, ((texte: $I_k$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)), (texte: $P$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)))) // #definition(titre: "Matrice de Contrôle")[
// G = mat( // // $H = mat(
// I_k, P; // // P^top, I_(n-k);
// augment: #1, // // augment: #1,
// delim: "[", // // delim: "[",
// ) // // )
$ // $
] // #dessiner_matrice($H =$, (
// (texte: $P^top$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)),
#[ // (texte: $I_(n-k)$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)),
#set text(size: 1.2em) // ))
// - Pour $u in FF_2^k, space display(u dot.o G = mat(u, u dot.o P; augment: #1, delim: "[",))$ // $
//
- Pour $u in FF_2^k, space #dessiner_matrice($u dot.o G =$, ( // ]
(texte: $u$, largeur: 1.1, fond: gray.lighten(75%)), // #[
(texte: $u dot.o P$, largeur: 3.0, fond: gray.lighten(75%)), // #set text(size: 1.2em)
))$ // - $cal(C) = ker(H) = {v in FF_2^n | H v^top = 0}$
//
- $P in cal(M)_(k ,n-k)(FF_2)$ matrice de parité\ // - $display(G H^top = 0)$
] // ]
] //
// #definition(titre: "Syndrome")[
#myslide("Définition : Matrice de Contrôle")[ // Pour un vecteur reçu $r = c + e, space s in FF_2^(n - k)$
#definition(titre: "Matrice de Contrôle")[ // $
// $H = mat( // s = H r^top = H c^top + H e^top = 0 + H e^top
// P^top, I_(n-k); // $
// augment: #1, // ]
// delim: "[", // #[
// ) // #set text(size: 1.2em)
$ // - Si $s = 0, space r$ est un mot de code valide
#dessiner_matrice($H =$, ( // - Sinon $s$ donne la signature de l'erreur $e$
(texte: $P^top$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)), // ]
(texte: $I_(n-k)$, largeur: 2.2, fond: gray.lighten(75%)), // // Possible décodage par syndrome
)) // ]
$
]
#[
#set text(size: 1.2em)
- $cal(C) = ker(H) = {v in FF_2^n | H dot.o v^top = 0}$
- $display(G dot.o H^top = 0)$
]
#definition(titre: "Syndrome")[
Pour un vecteur reçu $r = c + e, space s in FF_2^(n - k)$
$
s = H r^top = H c^top + H e^top = 0 + H e^top
$
]
#[
#set text(size: 1.2em)
- Si $s = 0, space r$ est un mot de code valide
- Sinon $s$ donne la signature de l'erreur $e$
]
// Possible décodage par syndrome
]
#myslide("Théorie derrière la définition des codes linaires")[ #myslide("Théorie derrière la définition des codes linaires")[
Poser les notations algebriques etc... Poser les notations algebriques etc...
@ -1648,4 +1724,3 @@
#myslide("Progressive Edge-growth")[ #myslide("Progressive Edge-growth")[
] ]