415 lines
12 KiB
Typst
415 lines
12 KiB
Typst
#import "@preview/polylux:0.4.0": *
|
|
#import "@preview/cetz:0.5.0"
|
|
|
|
#set page(
|
|
paper: "presentation-4-3",
|
|
margin: 0cm,
|
|
)
|
|
|
|
// Font
|
|
#set text(
|
|
font: "New Computer Modern",
|
|
size: 20pt,
|
|
fill: black,
|
|
)
|
|
|
|
// Infos
|
|
#let auteur = "Anthony PERRONI"
|
|
#let numero = "49871"
|
|
#let titre = "Codes LDPC"
|
|
#let annee = "2025 - 2026"
|
|
|
|
// Template
|
|
#let myslide(partie, contenu) = slide[
|
|
// Header
|
|
#block(width: 100%, fill: black, inset: (top: 0.6cm, bottom: 0.6cm, left: 1.5cm, right: 1.5cm))[
|
|
#set text(fill: white, size: 28pt, weight: "bold")
|
|
#partie
|
|
]
|
|
|
|
// Contenu
|
|
#pad(x: 1.5cm, top: 0.2cm)[
|
|
#set text(size: 20pt)
|
|
#contenu
|
|
]
|
|
|
|
// Footer
|
|
#v(1fr)
|
|
#context {
|
|
let cur = counter(page).get().first()
|
|
let tot = counter(page).final().first()
|
|
|
|
if cur > 1 {
|
|
block(width: 100%, fill: black, inset: (top: 0.2cm, bottom: 0.2cm, left: 1.5cm, right: 1.5cm))[
|
|
#set text(fill: white, size: 12pt, weight: "bold")
|
|
#grid(
|
|
columns: (1.5fr, 2fr, 1fr, auto),
|
|
align: (left, center, center, right),
|
|
[#auteur n°#numero], [#titre], [#annee], [#(cur - 1) / #(tot - 1)],
|
|
)
|
|
]
|
|
}
|
|
}
|
|
]
|
|
|
|
// Plan
|
|
// Plan
|
|
#let design_plan(items) = {
|
|
let r = 6pt
|
|
let epaisseur = 2pt
|
|
let hauteur_ligne = 2.5em
|
|
let espace_vertical = 20pt
|
|
|
|
pad(left: 1cm, top: 1cm)[
|
|
#block[
|
|
#place(dx: r, dy: hauteur_ligne / 2)[
|
|
#line(
|
|
length: (items.len() - 1) * (hauteur_ligne + espace_vertical),
|
|
angle: 90deg,
|
|
stroke: epaisseur + black,
|
|
)
|
|
]
|
|
|
|
#grid(
|
|
columns: (2 * r, auto),
|
|
column-gutter: 20pt,
|
|
row-gutter: espace_vertical, // On applique la variable ici
|
|
..items
|
|
.map(item => (
|
|
box(height: hauteur_ligne, align(center + horizon)[
|
|
#circle(radius: r, fill: white, stroke: epaisseur + black)
|
|
]),
|
|
box(height: hauteur_ligne, align(left + horizon)[
|
|
#text(weight: "bold", size: 1.1em)[#item]
|
|
]),
|
|
))
|
|
.flatten()
|
|
)
|
|
]
|
|
]
|
|
}
|
|
|
|
// Page de garde
|
|
#slide[
|
|
#v(1fr)
|
|
#align(center)[
|
|
#pad(x: 1.5cm)[
|
|
#text(size: 3em, weight: "bold")[#titre]
|
|
#v(0cm)
|
|
#text(size: 1.4em)[*#auteur n°#numero*] \
|
|
#v(1cm)
|
|
#text(size: 1.1em)[#annee]
|
|
]
|
|
]
|
|
#v(1fr)
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Plan")[
|
|
#design_plan((
|
|
[Introduction],
|
|
[Codes linéaires],
|
|
[LDPC],
|
|
[Codage],
|
|
[Décodage],
|
|
[Analyse],
|
|
))
|
|
]
|
|
|
|
|
|
#myslide("Introduction : transmission numérique")[
|
|
// Schema Shannon
|
|
#align(center + horizon)[
|
|
#cetz.canvas({
|
|
import cetz.draw: *
|
|
|
|
// Styles
|
|
let s = (stroke: 2pt + black)
|
|
let s_fleche = (stroke: 2pt + black)
|
|
let pointe_pleine = (end: "stealth", fill: black)
|
|
|
|
let espacement = 5.5
|
|
|
|
// Blocs
|
|
content((0, 0), [Source], name: "src", frame: "rect", ..s, padding: .3)
|
|
content((espacement, 0), [Emetteur], name: "em", frame: "rect", ..s, padding: .3)
|
|
content((espacement * 2, 0), [Canal], name: "chan", frame: "rect", ..s, padding: .3)
|
|
content((espacement * 3, 0), [Récepteur], name: "rec", frame: "rect", ..s, padding: .3)
|
|
content((espacement * 4, 0), [Destinataire], name: "dest", frame: "rect", ..s, padding: .3)
|
|
|
|
// Bruit
|
|
content((rel: (0, 1.8), to: "chan"), [Bruit], name: "bruit", frame: "rect", ..s, padding: .3)
|
|
|
|
// Codage / Décodage
|
|
content((rel: (0, 1), to: "em"), [*Codage*])
|
|
content((rel: (0, 1), to: "rec"), [*Décodage*])
|
|
|
|
// Flèches (On utilise s_fleche et pointe_pleine)
|
|
line("src.east", "em.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
|
|
line("em.east", "chan.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
|
|
line("chan.east", "rec.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
|
|
line("rec.east", "dest.west", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
|
|
line("bruit.south", "chan.north", mark: pointe_pleine, ..s_fleche)
|
|
|
|
// Annotation
|
|
let note-style = (size: 0.75em, style: "italic")
|
|
content((espacement * 0.5, -0.5), text(..note-style)[Message])
|
|
content((espacement * 1.5, -0.5), text(..note-style)[Signal])
|
|
content((espacement * 2.5, -0.5), text(..note-style)[Signal])
|
|
content((espacement * 3.5, -0.5), text(..note-style)[Message])
|
|
})
|
|
]
|
|
#v(5cm)
|
|
image de mon drone FPV, 5G
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Problématique")[
|
|
#align(center)[
|
|
Comment utiliser les codes LDPC pour garantir la fiabilité d'une transmission en présence de
|
|
bruit ?
|
|
]
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
|
|
$cal(C)$ de paramètres $(n, k) in NN^2$, ($n > k$)
|
|
|
|
// $Phi : & FF_2^k --> FF_2^n \
|
|
// & x arrow.long.bar Phi(x) = c$
|
|
// $Phi : #box(baseline: 1.6em)[$ cases(
|
|
// delim: "|",
|
|
// bb(F)_2^k & arrow bb(F)_2^n,
|
|
// x & arrow.long.bar Phi(x)
|
|
// ) $]$
|
|
|
|
// $Phi$ linéaire et injective
|
|
|
|
Espace des messages : $FF_2^k$\
|
|
Espace des mots transmis :$FF_2^n$
|
|
|
|
Redondance de $n - k$ bits
|
|
|
|
Rendement $display(R = k / n)$
|
|
|
|
#align(center)[
|
|
#cetz.canvas(length: 1.5cm, {
|
|
import cetz.draw: *
|
|
|
|
// Styles
|
|
let style-pointille = (stroke: (paint: black, thickness: 1.2pt, dash: "dashed"))
|
|
let style-point = (fill: black, stroke: none)
|
|
let rayon-point = 0.08
|
|
let pointe-fleche = (end: "stealth", fill: black)
|
|
|
|
let m = (
|
|
p00: (-4, 0),
|
|
p01: (-2, 0),
|
|
p11: (-2, -2),
|
|
p10: (-4, -2),
|
|
)
|
|
|
|
// Arêtes pointillés
|
|
line(m.p00, m.p01, m.p11, m.p10, close: true, ..style-pointille)
|
|
|
|
// Points sur les sommets
|
|
circle(m.p00, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(m.p01, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(m.p11, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(m.p10, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
|
|
// Étiquettes
|
|
content(m.p00, [00], anchor: "south-east", padding: .2)
|
|
content(m.p01, [01], anchor: "south-west", padding: .2)
|
|
content(m.p11, [11], anchor: "north-west", padding: .2)
|
|
content(m.p10, [10], anchor: "north-east", padding: .2)
|
|
|
|
content((-3, -3), [$FF_2^2$])
|
|
|
|
line((-1.2, -1), (1.2, -1), mark: pointe-fleche, stroke: 1.5pt + black)
|
|
content((0, -0.6), [*Plongement*])
|
|
|
|
// Sommets face arrière
|
|
let cb = (p000: (2.5, 0), p001: (4.5, 0), p011: (4.5, -2), p010: (2.5, -2))
|
|
// Sommets face avant (décalés)
|
|
let cf = (p100: (3.5, 1), p101: (5.5, 1), p111: (5.5, -1), p110: (3.5, -1))
|
|
|
|
// Arêtes pointillés du cube
|
|
line(cb.p000, cb.p001, cb.p011, cb.p010, close: true, ..style-pointille) // Face arrière
|
|
line(cf.p100, cf.p101, cf.p111, cf.p110, close: true, ..style-pointille) // Face avant
|
|
line(cb.p000, cf.p100, ..style-pointille) // Liaisons
|
|
line(cb.p001, cf.p101, ..style-pointille)
|
|
line(cb.p011, cf.p111, ..style-pointille)
|
|
line(cb.p010, cf.p110, ..style-pointille)
|
|
|
|
// Points sur les sommets du cube
|
|
circle(cb.p000, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cb.p001, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cb.p011, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cb.p010, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cf.p100, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cf.p101, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cf.p111, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
circle(cf.p110, radius: rayon-point, ..style-point)
|
|
|
|
// Étiquettes du cube
|
|
content(cb.p000, [000], anchor: "south-east", padding: .2)
|
|
content(cb.p001, [001], anchor: "south-west", padding: .2)
|
|
content(cb.p011, [011], anchor: "north-west", padding: .2)
|
|
content(cb.p010, [010], anchor: "north-east", padding: .2)
|
|
content(cf.p100, [100], anchor: "south-east", padding: .2)
|
|
content(cf.p101, [101], anchor: "south-west", padding: .2)
|
|
content(cf.p111, [111], anchor: "north-west", padding: .2)
|
|
content(cf.p110, [110], anchor: "north-east", padding: .2)
|
|
|
|
content((4, -3), [$FF_2^3$])
|
|
})
|
|
]
|
|
|
|
]
|
|
|
|
// #myslide("Définition : Codes Linéaires")[
|
|
// // Matrice génératrice : $op("Mat")_cal(B)(Phi) = G in cal(M)_(k, n)(FF_2)$, $op("rg")(G) = k$
|
|
//
|
|
// // $cal(C) = op("Im")(Phi) = {x G | x in FF_2^k}$
|
|
//
|
|
// Forme bilinéaire symétrique :
|
|
// $forall x, y in FF_2^n, space (x|y)_(FF_2^n) = display(sum_(i=0)^n x_i y_i)$
|
|
//
|
|
// Encodage :
|
|
// $Phi : #box(baseline: 1.6em)[$ cases(
|
|
// delim: "|",
|
|
// FF_2^k & -> FF_2^n,
|
|
// x & arrow.long.bar Phi(x)
|
|
// ) $]$
|
|
//
|
|
// $Phi in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$, $op("rg")(Phi) = k$, $Phi$ injective
|
|
//
|
|
// $cal(C) = op("Im")(Phi)$
|
|
//
|
|
// $G = op("Mat")_cal(B)(Phi) in cal(M)_(k,n)(FF_2)$
|
|
// Pour $x in FF_2^k, Phi(x) = x G$
|
|
//
|
|
// $Phi$ admet un unique adjoint $Phi^*$,
|
|
// $
|
|
// forall x in FF_2^k, forall y in FF_2^n, (Phi(x) | y)_(FF_2^n) = (x, Phi(y)^*)_(FF_2^k)
|
|
// $
|
|
// de plus $cal(C)^bot = op("Im")(Phi)^bot = ker(Phi^*)$ et $dim(cal(C)^bot) = n - k$
|
|
//
|
|
// Equation du code dual : $y in cal(C^bot) <==> Phi(y)^* = 0 <==> y G^T = 0$
|
|
//
|
|
// De plus $display((cal(C)^bot)^bot) = cal(C)$ (car non dégénérée)
|
|
//
|
|
//
|
|
// ]
|
|
//
|
|
// #myslide("Définition : Codes Linéaires")[
|
|
//
|
|
// $(h_1, ..., h_(n-k))$ base de $cal(C)^bot$
|
|
// Définisson $H in cal(M)_(n-k, n)(FF_2)$ avec les $h_i$ comme lignes
|
|
// $H$ : matrice de contrôle de parité
|
|
//
|
|
// $forall c in FF_2^n, c in cal(C) <==> c H^T = 0$
|
|
//
|
|
// $S : #box(baseline: 1.6em)[$ cases(
|
|
// delim: "|",
|
|
// FF_2^n & -> FF_2^(n-k),
|
|
// y & arrow.long.bar y H^T
|
|
// ) $]$
|
|
// et $ker(S) = cal(C)$ ...
|
|
//
|
|
// ]
|
|
|
|
#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
|
|
faire un truc plus theoriques...
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
|
|
- Matrice génératrice
|
|
|
|
$G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$
|
|
|
|
- Encodage : $m in FF_2^k, c = m dot.o G$
|
|
|
|
- Forme systématique : $G = [I_k | P]$ avec $P$ matrice de parité
|
|
|
|
- Matrice de contrôle de parité $H = [- P^top | I_(n-k)]$
|
|
$c in FF_2^n$ est un mot de code valide $<==>$ $c^top dot.o H = 0$
|
|
|
|
De plus $G dot.o H^T = 0$
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Définition : Codes Linéaires")[
|
|
Reception de $r = c + e$ avec $c in cal(C), e in FF_2^n$
|
|
$r^top dot.o H = s$ le syndrome
|
|
|
|
$(c + e)^top H = c^top H + e^top H = e^top H$
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Redondance et limite théorique")[
|
|
Graphique waterfall avec n = 100 et n = 64800 avec limite de Shannon, $display(R = k /n) < 1$, $m = n - k$
|
|
|
|
Bande passante...
|
|
|
|
Il existe $C$ pour un canal tel que pour $R < C$ on peut atteindre une probabilité d'erreur nulle.
|
|
$=>$ gros bloc (moyenne du bruit aléatoire)
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Décodage par Maximum de Vraisemblance")[
|
|
Trouver le message envoyer le + probable sachant le message recu : NP-COMPLET (Max)
|
|
Decodage par syndrome d'une code lin'aire général est NP-Complet
|
|
Complexité $O(2^k)$
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("LDPC")[
|
|
Matrice $H$ clairsemée(low density) donc complexité mointre, pas de produit de matrice mais algorithme itératif efficace quasi linéaire
|
|
Graphique d'un H très grand clairesemée avec plein de 0, généré en rust par exemple où les 1 sont des points noir et le reste du blanc
|
|
Défniition avec (w_r,w_c)
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Graphe de Tanner")[
|
|
Il existe un isomorphisme entre H et le Graphe de Tanner
|
|
Graphe de tanner (cetz)
|
|
Contrainte de somme nulle
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Encodage")[
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Décodage")[
|
|
Canal d'étude (AWGN) analogique, tension etc, ce qui se passe en radio dans les cables etc
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Hard decoding")[
|
|
Nul (0 ou 1)
|
|
transition perte d'information
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Implementation")[
|
|
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Soft decoding")[
|
|
belief propagation, log ou virgule fixe, explication resultat meilleur
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Implementation")[
|
|
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Test")[
|
|
Irl hackrf, test de diff de debit avec des paquets
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Image")[
|
|
Test de transmission d'image avec différent ldpc non opti et opti (le H)
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Annexe")[
|
|
Annexe
|
|
]
|
|
|
|
#myslide("Théorie deriere la définition des codes linaires")[
|
|
Poser les notations algebriques
|
|
]
|
|
#myslide("Unicité de l'adjoint")[
|
|
Unicité de l'adjoint pour une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
|
|
]
|