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zeefaad
2026-05-06 20:52:45 +02:00
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363
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@ -1,363 +0,0 @@
#import "composants.typ": *
#set page(
paper: "presentation-4-3",
margin: 0cm,
)
// Font
#set text(
font: "New Computer Modern",
size: 20pt,
fill: black,
)
#set math.mat(delim: "[")
// Page de garde
#slide[
#place(center + horizon)[
#graphe_tanner_fond(1cm, 1.5)
]
#v(1fr)
#align(center + horizon)[
#pad(x: 2cm)[
#text(size: 3em, weight: "bold", fill: black)[#titre]
#text(size: 1.2em, weight: "bold", fill: black)[#auteur]
#h(0.5em)
#text(size: 1.2em, fill: black)[n°#numero]
#text(size: 0.95em, fill: black)[#annee]
]
]
#v(1fr)
]
#myslide("Plan")[
#design_plan((
[Introduction],
[Codes linéaires],
[LDPC],
[Codage],
[Décodage],
[Analyse],
))
]
#myslide("Introduction : Communication Numérique")[
#place(center + horizon)[
#canal_shannon_intro()
]
]
#myslide("Introduction : Utilisation")[
#align(center + horizon)[
#grid(
columns: (1.5fr, 1.5fr),
gutter: 1.5cm,
align: center + horizon,
[
#box(width: 80%)[
#stack(
dir: ttb,
spacing: -0.5em,
image("src/athena_fidus_no_text.jpg", width: 100%),
align(left)[
#box(
inset: (x: 5pt, y: 0pt),
text(size: 0.45em, fill: white)[* https://gallery.ariane.group *],
)
],
)
]
#v(0.5em)
Athena-Fidus
],
[
#box(width: 80%)[
#stack(
dir: ttb,
spacing: -0.5em,
image("src/runcamfpv2.png", width: 100%),
align(left)[
#box(
inset: (x: 5pt, y: 0pt),
text(size: 0.45em, fill: white)[* https://www.runcam.com/ *],
)
],
)
]
#v(0.5em)
Module OpenIPC
],
)
]
]
#myslide("Problématique")[
#place(center + horizon, dy: 8.1cm)[#graphe_tanner_fond(0.9cm, 1.75)]
#place(center + horizon, dy: 7.7cm)[
#block(width: 100%)[
#text(size: 1.2em, weight: "bold", fill: black)[
Comment utiliser les codes LDPC pour garantir la fiabilité d'une transmission en présence de bruit ?
]
]
]
]
#myslide("Définition : Codes Linéaires en Bloc")[
#definition(titre: [Code $display((n,k) in NN^2)$])[
$cal(C)$ sous-espace vectoriel de dimension $k$ de $FF_2^n$
]
#[
#set text(size: 1.1em)
- $k$ : longueur du message original
- $n$ : longueur du mot de code
- $m = n - k$ : nombre de bits de parités
]
#definition(titre: "Encodage")[
$Phi : FF_2^k & -> FF_2^n in cal(L)(FF_2^k, FF_2^n)$
]
#v(-1.3em)
#uncover(2)[
#align(center + horizon)[
#plongement_schema()
]
]
]
#myslide("Définition : Matrice Génératrice")[
#definition(titre: "Matrice Génératrice")[
$G in cal(M)_(k,n)(FF_2)$ dont les lignes sont une base de $cal(C)$
]
#definition(titre: "Encodage")[
Pour un message $u in FF_2^k$ le mot de code $c in cal(C)$ est :
$
c = Phi(u) = u dot.o G
$
]
#definition(titre: "Forme systématique")[
$
G = mat(
I_k, P;
augment: #1,
delim: "[",
)
$
]
#[
#set text(size: 1.2em)
- Pour $u in FF_2^k, space display(u dot.o G = mat(u, u dot.o P; augment: #1, delim: "[",))$
- $P in cal(M)_(k ,(n-k))(FF_2)$ matrice de parité\
]
]
#myslide("Définition : Matrice de Contrôle")[
#definition(titre: "Matrice de Contrôle")[
$
H = mat(
P^top, I_(n-k);
augment: #1,
delim: "[",
)
$
]
#[
#set text(size: 1.2em)
- $cal(C) = ker(H) = {v in FF_2^n | H dot.o v^top = 0}$
- $display(G dot.o H^top = 0)$
]
#definition(titre: "Syndrome")[
Pour un vecteur reçu $r = c + e, space s in FF_2^(n - k)$
$
s = H r^top = H c^top + H e^top = 0 + H e^top
$
]
#[
#set text(size: 1.2em)
- Si $s = 0, space r$ est un mot de code valide
- Sinon s donne la signature de l'erreur $e$
]
// Possible décodage par syndrome
]
#myslide("Exemple d'un code linéaire")[
#[
#set text(size: 1.1em)
#let col-u = blue
#let col-p = orange
#underline(offset: 3pt)[Exemple d'un code $(5,2)$]
- On choisit la matrice de parité $P$ :
$
P = #math.mat(
(text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[0]),
(text(fill: col-p)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1]),
)
$
- Alors la matrice génératrice $G$ est :
$
G = #math.mat(
(text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[0]),
(text(fill: col-u)[0], text(fill: col-u)[1], text(fill: col-p)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1]),
augment: 2,
)
$
- Message $display(u = #math.mat((text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[1])))$
- Mot de code $c = u G$ :
$
c = #math.mat((text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[1]))
#math.mat(
(text(fill: col-u)[1], text(fill: col-u)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[0]),
(text(fill: col-u)[0], text(fill: col-u)[1], text(fill: col-p)[0], text(fill: col-p)[1], text(fill: col-p)[1]),
augment: 2,
)
=
#math.mat((
text(fill: col-u)[1],
text(fill: col-u)[1],
text(fill: col-p)[1],
text(fill: col-p)[0],
text(fill: col-p)[1],
))
$
]
]
#myslide("Exemple d'une code linéaire")[
#[
#set math.mat(delim: "[")
#let colu = blue
#let colp = orange
#v(0.5em)
#set text(size: 1.1em)
Enfin
$
H = #math.mat(
(text(fill: colp)[1], text(fill: colp)[0], 1, 0, 0),
(text(fill: colp)[1], text(fill: colp)[1], 0, 1, 0),
(text(fill: colp)[0], text(fill: colp)[1], 0, 0, 1),
augment: 2,
)
$
#v(0.8em)
Vérification du mot de code $display(c = mat(#text(fill: colu)[1], #text(fill: colu)[1], #text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[0], #text(fill: colp)[1]))$
#v(0.8em)
$
H c^top = mat(
1, 0, 1, 0, 0;
1, 1, 0, 1, 0;
0, 1, 0, 0, 1
) mat(#text(fill: colu)[1], #text(fill: colu)[1], #text(fill: colp)[1], #text(fill: colp)[0], #text(fill: colp)[1])^top
= mat(
1 plus.o 0 plus.o 1 plus.o 0 plus.o 0;
1 plus.o 1 plus.o 0 plus.o 0 plus.o 0;
0 plus.o 1 plus.o 0 plus.o 0 plus.o 1
)
= mat(0; 0; 0)
$
]
]
// A REMPLACER AVEC DE VRAI DONNE SUR DE VRAI CODE LDPC ET HAMMING PAR EXEMPLE
#myslide("Approcher la Limite de Shannon")[
#limite_shannon_graphique()
]
// #myslide("Redondance et limite théorique")[
// Graphique waterfall avec n = 100 et n = 64800 avec limite de Shannon, $display(R = k /n) < 1$, $m = n - k$
//
// Bande passante...
//
// Il existe $C$ pour un canal tel que pour $R < C$ on peut atteindre une probabilité d'erreur nulle.
// $=>$ gros bloc (moyenne du bruit aléatoire)
// ]
#myslide("Décodage par Maximum de Vraisemblance")[
Trouver le message envoyer le + probable sachant le message recu : NP-COMPLET (Max)
Decodage par syndrome d'une code lin'aire général est NP-Complet
Complexité $O(2^k)$
]
#myslide("LDPC")[
Matrice $H$ clairsemée(low density) donc complexité mointre, pas de produit de matrice mais algorithme itératif efficace quasi linéaire
Graphique d'un H très grand clairesemée avec plein de 0, généré en rust par exemple où les 1 sont des points noir et le reste du blanc
Défniition avec (w_r,w_c)
]
#myslide("Graphe de Tanner")[
Il existe un isomorphisme entre H et le Graphe de Tanner
Graphe de tanner (cetz)
Contrainte de somme nulle
]
#myslide("Encodage")[
]
#myslide("Décodage")[
Canal d'étude (AWGN) analogique, tension etc, ce qui se passe en radio dans les cables etc
]
#myslide("Hard decoding")[
Nul (0 ou 1)
transition perte d'information
]
#myslide("Implementation")[
]
#myslide("Soft decoding")[
belief propagation, log ou virgule fixe, explication resultat meilleur
]
#myslide("Implementation")[
]
#myslide("Test")[
Irl hackrf, test de diff de debit avec des paquets
]
#myslide("Image")[
Test de transmission d'image avec différent ldpc non opti et opti (le H)
]
#myslide("Annexe")[
#align(center + horizon)[
Annexe
]
#align(center + horizon)[
#image("src/construction.jpg", width: 80%)
]
]
#myslide("Théorie deriere la définition des codes linaires")[
Poser les notations algebriques etc...
]